Trygonometryczne wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne – wzory pozwalające sprowadzić obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta skierowanego do obliczenia wartości funkcji dla kąta ostrego, a dalej dla kąta o mierze z zakresu od 0° do 45°.

W poniższych wzorach używana jest miara łukowa kąta. Korzystając z miary stopniowej należy w poniższych wzorach podstawić 180° w miejsce π.

Sinus i cosinus

$\sin \left(-\alpha\right)=-\sin \alpha \,$	$\cos \left(-\alpha\right)= \cos \alpha \,$
$\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos \alpha$	$\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin \alpha$
$\sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos \alpha$	$\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin \alpha$
$\sin \left(\pi-\alpha\right)=\sin \alpha$	$\cos \left(\pi-\alpha\right)=-\cos \alpha$
$\sin \left(\pi+\alpha\right)=-\sin \alpha$	$\cos \left(\pi+\alpha\right)=-\cos \alpha$
$\sin \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos \alpha$	$\cos \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\sin \alpha$
$\sin \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos \alpha$	$\cos \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin \alpha$
$\sin \left(2\pi-\alpha\right)=-\sin \alpha$	$\cos \left(2\pi-\alpha\right)=\cos \alpha$
$\sin \left(2\pi+\alpha\right)=\sin \alpha$	$\cos \left(2\pi+\alpha\right)=\cos \alpha$

Tangens i cotangens

$\mathrm{tg} (-\alpha)=-\mathrm{tg}\ \alpha$	$\mathrm{ctg} (-\alpha)=-\mathrm{ctg}\ \alpha$
$\mathrm{tg}\ \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\mathrm{ctg}\ \alpha$	$\mathrm{ctg} \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\mathrm{tg}\ \alpha$
$\mathrm{tg}\ \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\mathrm{ctg}\ \alpha$	$\mathrm{ctg} \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\mathrm{tg}\ \alpha$
$\mathrm{tg}\ \left(\pi-\alpha\right)=-\mathrm{tg}\ \alpha$	$\mathrm{ctg} \left(\pi-\alpha\right)=-\mathrm{ctg}\ \alpha$
$\mathrm{tg}\ \left(\pi+\alpha\right)=\mathrm{tg}\ \alpha$	$\mathrm{ctg} \left(\pi+\alpha\right)=\mathrm{ctg}\ \alpha$

Podawanie wzorów typu $\mathrm{tg}\ \left( \frac{3\pi}{2}+\alpha\right) =-\mathrm{ctg} \alpha$ nie jest potrzebne, bo okresem funkcji tangens i cotangens jest π.

Wzory redukcyjne można wywieść z symetrii wykresów odpowiednich funkcji trygonometrycznych. Mianowicie, wykres funkcji sinus jest środkowo symetryczny względem dowolnego punktu osi OX o współrzędnej postaci kπ i osiowo symetryczny względem dowolnej prostej o równaniu x = π/2 + kπ. Dla cosinusa odpowiednie symetrie wypadają dla x =π/2 + kπ oraz x = kπ. Dla tangensa i cotangensa mamy jedynie symetrie środkowe odpowiednio względem punktów x=kπ oraz x=π/2 + kπ.

Interpretacja na wykresie

Wykresy pozwalają też na wyobrażenie sobie (i szybkie odtworzenie w pamięci lub na kartce) wzorów redukcyjnych.

1. W tym celu trzeba tylko zapamiętać jak wyglądają wykresy funkcji trygonometrycznych. Następnie przekształcamy wykres tej funkcji, którą mamy obliczyć:

• jeśli w argumencie jest $(x+\alpha)\$ gdzie $\alpha\$ jest równe np. $\frac{\pi}{2}$, $\pi\$, $\frac{3}{2}\pi$, lub $2\pi\$, to przesuwamy wykres odpowiedniej funkcji o $\alpha\$ w lewo.
• jeśli w argumencie jest $(x-\alpha)\$ to przesuwamy wykres o $\alpha\$ w prawo.
• jeśli w argumencie jest $(\alpha-x)\$ to przesuwamy wykres o $\alpha\$ w lewo i odbijamy wykres symetrycznie względem osi OY.

2. Jeśli przed funkcją stoi minus, odbijamy wykres względem osi OX.

3. Na koniec spoglądamy na powstały wykres w miejscu, w którym przecina oś OY:

• Jeśli przecina ją w punkcie $y=1\$, to wynikiem jest $\cos (x)\$
• Jeśli przecina ją w punkcie $y=-1\$, to wynikiem jest $-\cos (x)\$
• Jeśli przecina ją w środku układu współrzędnych i rośnie, to wynikiem jest $\sin(x)\$ (gdy przekształcaliśmy sinus lub cosinus) lub $\operatorname{tg}(x)\$ (gdy przekształcaliśmy tangens lub cotangens)
• Jeśli przecina ją w środku układu współrzędnych i maleje, to wynikiem jest $-\sin(x)\$ (gdy przekształcaliśmy sinus lub cosinus) lub $-\operatorname{tg}(x)\$ (gdy przekształcaliśmy tangens lub cotangens)
• Jeśli w ogóle nie przecina osi OY, a w przedziale od 0 do $\pi\$ rośnie, to wynikiem jest $\operatorname{ctg}(x)\$
• Jeśli w ogóle nie przecina osi OY, a w przedziale od 0 do $\pi\$ maleje, to wynikiem jest $-\operatorname{ctg}(x)\$

Przykłady zastosowania

Dla odmiany użyta zostanie miara kątowa. Należy pamiętać, że funkcje trygonometryczne są okresowe – jeżeli miara kąta przekracza 360° można wyodrębnić z niej wielokrotność 360° i przeprowadzać obliczenia dla pozostałej części.

$\sin 135^{\circ} = \sin (90^{\circ} + 45^{\circ})=\cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 210^{\circ} = \cos (180^{\circ} + 30^{\circ})=-\cos 30^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\mathrm{tg}\ 585^{\circ} = \mathrm{tg}\ (3\cdot 180^{\circ} + 45^{\circ})=\mathrm{tg}\ 45^{\circ}=1$

$\sin (-1035^{\circ})=-\sin 1035^{\circ}=-\sin (2\cdot 360^{\circ}+315^{\circ})=$$-\sin 315^{\circ}=-\sin (360^{\circ}-45^{\circ})=-(-\sin 45^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

W obu ostatnich przykładach pominięto okres funkcji.

Zobacz też

• trygonometria
• funkcje trygonometryczne
• tożsamości trygonometryczne