Twierdzenie Bézouta

Twierdzenie Bézouta – twierdzenie algebraiczne mówiące, iż pojęcie pierwiastka wielomianu odpowiada wprost pojęciu miejsca zerowego odpowiadającej mu funkcji wielomianowej. Polska nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka Étienne'a Bézouta, choć twierdzenie o podzielności wielomianu przez dwumian nie zostało przez niego sformułowane ani udowodnione^{[potrzebne źródło]} i było znane już wcześniej.

Twierdzenie

Niech $\mathrm p(x)$ będzie wielomianem zmiennej $x,$ zaś $p(x)$ oznacza funkcję wielomianową odpowiadającą temu wielomianowi.

Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $\mathrm p,$ tzn. dwumian $x - a$ dzieli bez reszty wielomian $\mathrm p,$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ jest miejscem zerowym funkcji wielomianowej $p,$ czyli $p(a) = 0.$

Dowód

Dostateczność

Jeśli $\mathrm p$ dzieli się przez $\mathrm d(x) = x - a$ bez reszty, to istnieje taki wielomian $\mathrm q,$ że $\mathrm p = \mathrm{qd}.$ Wartość funkcji $p = qd$ w punkcie $a$ wynosi

$p(a) = q(a) d(a) = q(a) \cdot 0 = 0,$

zatem $a$ jest miejscem zerowym funkcji $p.$

Konieczność

Wielomian $\mathrm p$ daje w dzieleniu przez dwumian $\mathrm d(x) = x - a$ resztę $r$ stopnia co najwyżej $0,$ w związku z tym można oznaczyć $\mathrm r(x) = r.$ Oznacza to, że

$\mathrm p = \mathrm{qd} + r.$

Skoro $p(a) = 0,$ to

$p(a) = q(a) d(a) + r = q(a) \cdot 0 + r = 0,$

a więc musi być $r = 0,$ zatem

$\mathrm p = \mathrm{qd},$

czyli dwumian $\mathrm d$ dzieli bez reszty wielomian $\mathrm p,$ tzn. $\mathrm d$ jest pierwiastkiem $\mathrm p.$

Wniosek

Wartość $p(a)$ funkcji wielomianowej $p(x)$ w punkcie $a$ jest równa reszcie z dzielenia wielomianu $\mathrm p(x)$ przez dwumian $x - a.$

Istotnie: dowód sugeruje, że jeżeli $r$ jest resztą z dzielenia $\mathrm p(x)$ przez $x - a,$ tzn. istnieje taki wielomian $\mathrm q(x),$ że

$\mathrm p(x) = \mathrm q(x) (x - a) + r,$

to $p(a) = r.$

Przykład

Wielomian $\mathrm f(x) = x^3 - 12x^2 - 42$ w dzieleniu przez $x - 3$ daje wielomian $\mathrm g(x) = x^2 - 9x - 27$ i resztę $r = -123.$ Z powyższego wniosku wynika, że $f(3) = -123,$ gdyż

$\mathrm f(x) = (x^2 - 9x - 27) (x - 3) - 123.$

Zobacz też

• schemat Hornera