Twierdzenie Banacha-Alaoglu

Twierdzenie Banacha-Alaoglu - twierdzenie w analizie funkcjonalnej, mówiące że domknięta kula jednostkowa w przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej jest *-słabo zwarta. Twierdzenie można łatwo uogólnić na dowolne przestrzenie liniowo-topologiczne. Jest to klasyczne twierdzenie analizy funkcjonalnej, którego dowód opiera się o twierdzenie Tichonowa, a więc wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru.

Nazwa twierdzenia honoruje polskiego matematyka Stefana Banacha który opublikował jego szczególny przypadek (dla ośrodkowych przestrzeni unormowanych) w 1932^{[potrzebne źródło]} oraz kanadyjskiego matematyka Leonidasa Alaoglu który opublikował w 1940 pierwszy dowód przypadku ogólnego.^{[potrzebne źródło]}

Twierdzenie

Jeżeli $U$ jest otoczeniem zera przestrzeni liniowo-topologicznej $X$, to zbiór

$\{x^*\in X^\star\colon\, |x^*x |\leqslant 1,\, x\in U\}$

jest *-słabo zwarty.

Bibliografia

1. Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.