Twierdzenie Banacha-Kreina-Šmuliana

Twierdzenie Banacha-Kreina-Šmuliana (albo twierdzenie Kreina-Šmuliana) - twierdzenie udowonione w 1940 przez Kreina i Šmuliana charakteryzujące wypukłe podzbiory przestrzeni sprzężonych przestrzeni Banacha w topologii *-słabej. Twierdzenie łatwo uogólnia się na przypadek przestrzeni Frécheta.

Twierdzenie Kreina-Šmuliana

Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha oraz $B^*$ będzie kulą jednostkową w $X^*$. Jeśli $C$ jest wypukłym podzbiorem $X^*$, to jest on *-słabo domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $t>0$ zbiór

$C\cap tB^*$

jest *-słabo domknięty.

Powyższe twierdzenie można wypowiedzieć nieco ogólniej, w języku półnorm w przestrzeniach Frécheta:

Nich $X$ będzie jest przestrzenią Frécheta. Jeśli $A$ jest niepustym i wypukłym podzbiorem $X^*$ takim, że dla każdej ciągłej półnormy

$p\colon X\to [0,\infty)$

zbiór

$\{a\in A\colon a\leqslant p(x),\, x\in X \}$

jest (ewentualnie pusty) *-słabo domknięty, to $A$ jest *-słabo domknięty.

Bibliografia

• B. Rodrigues, S. Simons: A minimax proof of the Krein-Smulian Theorem, Archiv der Mathematik, Birkhäuser Basel, Volume 51, Number 6, 1988