Twierdzenie Banacha-Steinhausa

Twierdzenie Banacha-Steinhausa (zasada jednostajnej ograniczoności) – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, w swym klasycznym sformułowaniu, że granica punktowa ciągu operatorów liniowych i jednakowo ciągłych między przestrzeniami Banacha jest ciągłym operatorem liniowym. Twierdzenie Banacha-Steinhausa można sforumułować ogólniej, aby uwypuklić istotność założeń wersji klasycznej.

Pierwszy dowód twierdzenia przedstawili w 1927 roku Stefan Banach i Hugo Steinhaus.

Jednakowa ciągłość

Dalej $X$ i $Y$ oznaczać będą ustalone przestrzenie liniowo-topologiczne. Rodzinę $\mathcal{L}$ przekształceń liniowych przestrzeni $X$ w przestrzeń $Y$ nazywa się jednakowo ciągłą, gdy dla każdego otoczenia zera $W\subseteq Y$ istnieje takie otoczenie zera $U\subseteq X$, że

$\Lambda(U)\subseteq W$

dla każdego $\Lambda\in \mathcal{L}$. W przypadku gdy $X$ i $Y$ są przestrzeniami unormowanymi, to rodzina $\mathcal{L}$ jest jednakowo ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy

$(\exist M>0)(\forall \Lambda\in \mathcal{L})(\|\Lambda\|\leq M)$.

Twierdzenie Banacha-Steinhausa

Niech $\mathcal{L}$ będzie rodziną przekształceń liniowych przestrzeni $X$ w przestrzeń $Y$. Jeżeli zbiór

$F=\{x\in X\colon \mbox{zbiór }\{\Lambda x\colon \Lambda \in \mathcal{L}\}\mbox{ jest ograniczony}\}$

jest podzbiorem drugiej kategorii przestrzeni $X$, to $\mathcal{L}$ jest rodziną jednakowo ciągłą oraz zbiór $F$ jest całą przestrzenią.

Wnioski

• Twierdzenie Baire'a mówi, że przestrzenie metryczne zupełne są (w sobie) drugiej kategorii. Używając twierdzenia Baire'a, można udowodnić, że jeżeli X jest F-przestrzenią oraz dla każdego punktu x przestrzeni X zbiór $\{\Lambda x\colon \Lambda\in \mathcal{L}\}$ jest ograniczony, to $\mathcal{L}$ jest rodziną jednakowo ciągłą.
• Jeżeli X jest F-przestrzenią oraz $\{\Lambda_n\colon n\in \mathbb{N}\}$ jest ciągiem operatorów liniowych i jednakowo ciągłych określonych na przestrzeni X i o wartościach w przestrzeni Y, który jest punktowo zbieżny do przekształcenia $\Lambda$, to przekształcenie $\Lambda\colon X\to Y$ jest operatorem liniowym i ciągłym.
• Twierdzenia Banacha-Steinhausa używa się do dowodu faktu, że każdy słabo ograniczony podzbiór przestrzeni liniowo-topologicznej lokalnie wypukłej jest ograniczony (tzn. ograniczony w sensie wyjściowej topologii przestrzeni).

Bibliografia

1. Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009, s. 55-56.