Twierdzenie Berry-Essena

Twierdzenie Berry-Essena pozwala na szacowanie szybkości zbieżności w centralnym twierdzeniu granicznym.

Motywacja

Zauważmy, że centralne twierdzenie graniczne (dla przypadku jednakowych zmiennych losowych) w istocie mówi, że $\mathbb P(\frac{X_1+X_2+\ldots+X_n)}{\sigma\sqrt n}\leqslant t)\longrightarrow\phi(t)$ przy $n\to\infty$. Naturalnym jest pytanie o odległość tych dwóch funkcji w normie supremum i badanie jak maleje ona z $n$-em. Odpowiedzi dostarcza nierówność Berry-Essena i to w formie nieco ogólniejszej. Jedynym dodatkowym wymaganiem jest skończoność trzeciego momentu modułu zmiennej.

Twierdzenie

Niech $X_1,X_2,\ldots X_n$ będą niezależnymi zmiennymi losowymi, $\mathbb EX_i=0$, $\sum_{i=1}^n Var(X_i)=1$ oraz $\forall_i \mathbb E|X_i|^3<\infty$. Wówczas istnieje stała $L\in\mathbb R$ taka, że $\sup_t|\mathbb P(\sum_{i=1}^n X_i\leqslant t)-\phi(t)|\leqslant L\sum_{i=1}^n \mathbb E|X_i|^3$.

Wniosek

Można jako wniosek przedstawić nieco inne sformułowanie twierdzenia, dla jednakowych, niezależnych zmiennych losowych. Niech $X,X_1,X_2,\ldots X_n$ będą jednakowymi niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej zero, wariancji równej $\sigma^2$ oraz takimi, że $\mathbb E|X|^3<\infty$. Wówczas

$\sup_t|\mathbb P(\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sigma\sqrt n}\leqslant t)-\phi(t)|\leqslant L\sum_{i=1}^n \frac{\mathbb E|X_i|^3}{\sqrt n}$

Dowód wniosku

Niech $\tilde{X_i}=\frac{X_i}{\sigma\sqrt n}$, wówczas $\sum_{i=1}^n\mathbb E\tilde{X_i}^2=1$. Wówczas zmienne $\tilde{X_i}$ spełniają założenia twierdzenia i zastosowanie go daje tezę wniosku, gdyż $\sum_{i=1}^n\mathbb E|\tilde{X_i}|^3=\frac{1}{\sigma^3 n^{\frac{3}{2}}} n\mathbb E|X|^3=\frac{\mathbb E|X|^3}{\sigma^3\sqrt n}$.

Uwagi

Stała L jest szacowana z coraz większą dokładnością, poczynając od $L=0.7975$ (von Beek, 1972), przez $L=0.7655$ (Shiganov, 1986 ), $L=0.7056$ (Shevtsova, 2007), $L=0.5129$ (Shevtsova, 2008), aż do $L=0.6379$ w przypadku ogólnym oraz $L=0.5894$ dla sumy zmiennych o takich samych rozkładach (Tyurin, 2009).

Oszacowanie jest asymptotycznie dobre, istnieje przykład pokazujący, że stała $L$ z twierdzenia musi spełniać nierówność $L\geqslant\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\approx 0.4$.

Przykład

Ponieważ prawdziwość twierdzenia Berry-Essena ze stałą $L$ implikuje prawdziwość wniosku dla jednakowych, niezależnych zmiennych losowych ze stałą $L$ to dla wskazania kontrprzykładu dla pewnej stałej wystarczy wskazać kontrprzykład dla tej stałej dla wniosku.

Niech $X,X_1,X_2,\ldots,X_n$ będą jednakowymi, niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że $\mathbb P(X=\pm 1)=\frac{1}{2}$. Wówczas $\sigma^2=1\!$. Niech $n=2k,k\in\mathbb Z$.

Wówczas $\mathbb P(\frac{X_1+\ldots+X_n}{\sqrt n}\leqslant 0)-\phi(0)=\frac{1+\mathbb P(X_1+\ldots+X_n=0)}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\mathbb P(X_1+\ldots+X_n=0)=\frac{1}{2}2^{-2k}\binom{2k}{k}$.

Ze wzoru Stirlinga wiemy, że $n!=\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n (1+O(\frac{1}{n}))$. Zatem $2^{-2k}\binom{2k}{k}=2^{-2k}\frac{(2k)!}{(k!)^2}=2^{-2k}\frac{\sqrt{4\pi n}}{2\pi n}\frac{(\frac{2k}{e})^{2k}}{(\frac{k}{e})^{2k}} (1+O(\frac{1}{n}))=\frac{1}{\sqrt{nk}}(1+O(\frac{1}{n}))$.

Dostajemy zatem $\mathbb P(\frac{X_1+\ldots+X_n}{\sqrt n}\leqslant 0)-\phi(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}(1+O(\frac{1}{n}))$, czyli mamy dolne oszacowanie na $L$ równe $\frac{1}{2\pi}$.

Linki zewnętrzne

• Chen, Po-Ning (2002). Asymptotic Refinement of the Berry-Esseen Constant