Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa jest jednym z podstawowych wyników w analizie matematycznej. Mówi ono, że każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych zawiera podciąg zbieżny. We współczesnym języku oznacza to, że domknięte i ograniczone podzbiory prostej rzeczywistej są ciągowo zwarte.

Twierdzenie to było najpierw udowodnione przez czeskiego matematyka Bernarda Bolzano, ale jego praca pozostała niezauważona. Twierdzenie było później ponownie odkryte i udowodnione przez niemieckiego matematyka Karla Weierstrassa.

Twierdzenie to jak i wiele innych zalicza się do tzw. matematycznego folkloru, co oznacza, że jest powszechne znane wśród matematyków i przy korzystaniu z niego nie uznaje się za zasadne powoływanie na jakiekolwiek źródła. Niemniej znaleźć je można m.in w , , czy .

Twierdzenie

Z każdego ograniczonego ciągu liczbowego można wybrać podciąg zbieżny.

Sformułowanie

Załóżmy, że $(c_n)_{n=0}^\infty$ jest ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych (a więc dla pewnych $a<b$ mamy że $a<c_n<b$ dla każdego $n$). Wówczas można wybrać rosnący ciąg indeksów $n_0,n_1,n_2,n_3,\ldots, n_k$ tak, że ciąg $\big(c_{n_k}\big)_{k=0}^\infty$ jest zbieżny.

Dowód

Załóżmy, że $(c_n)_{n=0}^\infty$ jest ciągiem liczb rzeczywistych, $a<b$ oraz $a<c_n<b$ dla wszystkich $n$. Indukcyjnie wybieramy liczby $a_k,b_k\in [a,b]$ oraz liczby naturalne $n_k$, tak że dla każdego $k$ mamy

• $n_0=0$, $a_0=a$, $b_0=b$,
• $n_k<n_{k+1}$, $a_k\leqslant a_{k+1}\leqslant c_{n_{k+1}}\leqslant b_{k+1}\leqslant b_k$,
• $b_k-a_k=(b-a)\cdot 2^{-k}$,
• zbiór $\{n:c_n\in [a_k,b_k]\}$ jest nieskończony.

Pierwszy warunek powyżej definiuje $n_0, a_0,b_0$. Przypuśćmy że wybraliśmy już $n_k, a_k,b_k$ tak, że wymagania sformułowane powyżej są spełnione. Niech $d=\frac{a_k+b_k}{2}$. Jeśli zbiór $\{n:c_n\in [a_k,d]\}$ jest nieskończony, to połóżmy $a_{k+1}=a_k$, $b_{k+1}=d$ i wybierzmy $n_{k+1}>n_k$ tak że $a_{k+1}\leqslant c_{n_{k+1}}\leqslant b_{k+1}$. Jeśli zbiór $\{n:c_n\in [a_k,d]\}$ jest skończony, to wtedy zbiór $\{n:c_n\in [d,b_k]\}$ musi być nieskończony. W tym wypadku deklarujemy że $a_{k+1}=d$, $b_{k+1}=b_k$ i wybieramy $n_{k+1}>n_k$ tak że $a_{k+1}\leqslant c_{n_{k+1}}\leqslant b_{k+1}$.

Po przeprowadzeniu powyższej konstrukcji zauważamy że ciąg $\big(c_{n_k}\big)_{k=0}^\infty$ jest ciągiem Cauchy'ego, a więc wobec zupełności prostej rzeczywistej jest on zbieżny.

Nieco inny dowód

Załóżmy, że $(c_n)_{n=0}^\infty$ jest ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych i niech $L=\inf\{c_n:n\}$, $R=\sup\{c_n:n\}$, $M=(R+L)/2$ i niech $\Delta=[L,R]$. Niech teraz $\Delta_{\epsilon}=[L_{\epsilon},R_{\epsilon}]$ będzie rodziną podprzedziałów przedziału $\Delta$ indeksowaną skończonymi ciągami zerojedynkowymi określoną wzorami:

$\Delta_{\langle0\rangle}=[L,M], \Delta_{\langle1\rangle}=[M,R]$ oraz $\Delta_{\epsilon\langle0\rangle} =[L_{\epsilon},M_{\epsilon}]$ i $\Delta_{\epsilon\langle1\rangle} =[M_{\epsilon},R_{\epsilon}]$

gdzie $M_{\epsilon}=(L_{\epsilon}+R_{\epsilon})/2$.

Łatwo zauważyć, że długość przedziału $\Delta_{\epsilon}$ równa jest $(R-L)/2^n$, gdzie $n$ jest długością ciągu ${\epsilon}$ oraz dla dowolnych dwóch $\epsilon'$, $\epsilon''$

$\Delta_{\epsilon''}\subseteq\Delta_{\epsilon'}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg $\epsilon'$ jest początkiem ciągu $\epsilon''$.

Łatwo też widać, że istnieje nieskończony rosnący ciąg indeksów $(\epsilon_n)_n$, dla którego każdy z przedziałów $\tilde{\Delta}_n=\Delta_{\epsilon_n}$, $n\in N$ zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu $(c_n)_{n}$.

Niech teraz $n_0=0$ oraz $n_{k+1}=\min\{m>n_k: c_m\in\tilde{\Delta}_{k}\}$. Wówczas $(n_k)_k$ jest ściśle rosnący oraz $c_{n_k}\in\tilde{\Delta}_{k}$. Pokażemy, że ciąg $c_{n_k}$ jest zbieżny do $L^\star=\sup \{\tilde{L}_n:n\in N\}$, gdzie $\tilde{L}_n=L_{\epsilon_n}$.

Niech zatem $\varepsilon>0$ i niech $N$ będzie takie, że $1/2^N<\varepsilon/2$ oraz niech $K$ będzie takie, że $L^\star-\varepsilon/2<\tilde{L}_K\le L^\star$. Biorąc teraz $k\ge\max\{N,K\}$ mamy:

$|c_{n_k}-L^\star|<|c_{n_k}-\tilde{L}_k|+|\tilde{L}_k-L^\star| = |c_{n_k}-\tilde{L}_k|+(L^\star-\tilde{L}_k) \le 1/2^k + (L^\star-\tilde{L}_K) <\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$

Tym samym wykazaliśmy zbieżność ciągu $(c_{n_k})_k$ do $L^\star$.

Jeszcze nieco inny dowód

Niech $(c_n)_n$ będzie takim ciągiem jak do tej pory, niech $L=\inf\{c_n:n\}$, $R=\sup\{c_n:n\}$ i niech $d=(R-L)/2$.

Niech dalej $M_0=(L+R)/2$ oraz niech $M_{k+1}=M_k-d/2^{k+1}$ jeśli zbiór $\{n: M_k-d/2^k\le c_n\le M_k\}$ jest nieskończony oraz $M_{k+1}=M_k+d/2^{k+1}$ w przeciwnym wypadku. Wykażemy indukcyjnie, że przedziały $\Delta_k=[M_k-d/2^{k},M_k+d/2^{k}]$ zawierają nieskończenie wiele elementów ciągu $(c_n)_n$. Ponieważ dla $k=0$, mamy $\Delta_0=[M_0-d,M_0+d]=[L,R]$, baza indukcji jest prawdziwa. Załóżmy zatem, że dla pewnego $k$ przedział $\Delta_k=[M_k-d/2^{k},M_k+d/2^{k}]$ zawiera nieskończenie wiele elementów ciągu $(c_n)_n$. Jeśli zbiór $\{n: M_k-d/2^k\le c_n\le M_k\}$ jest nieskończony, to $M_{k+1}=M_k-d/2^{k+1}$ i wówczas $\Delta_{k+1}=[M_{k+1}-d/2^{k+1},M_{k+1}+d/2^{k+1}]=[M_k-d/2^k,M_k]$, czyli zawiera nieskończenie wiele elementów rozważanego ciągu. Jeśli zbiór $\{n: M_k-d/2^k\le c_n\le M_k\}$ nieskończony nie jest, to musi być nieskończony $\{n: M_k\le c_n\le M_k+d/2^k\}$, na mocy założenia indukcyjnego i wówczas $M_{k+1}=M_k+d/2^{k+1}$ oraz $\Delta_{k+1}=[M_{k+1}-d/2^{k+1},M_{k+1}+d/2^{k+1}]=[M_k,M_k+d/2^k]$, co dopełnia dowód kroku indukcyjnego.

Niech teraz $m_0=0$ i niech $m_{k+1}=\min\{n>m_k: c_n\in\Delta_{k+1}\}$. Oczywiście $(c_{m_n})_n$ jest podciągiem ciągu $(c_{n})_n$. Ciąg $L_n=M_n-d/2^n$ jest rosnący i ograniczony, więc posiada supremum $L^\star$. Pokażemy, że $L^\star=\lim_{n\to\infty}c_{m_n}$.

Niech w tym celu $\varepsilon>0$ i niech $N$ będzie takie, że $1/2^N<\varepsilon/2$ oraz niech $K$ będzie takie, że $L^\star-\varepsilon/2<{L}_K\le L^\star$. Biorąc teraz $n\ge\max\{N,K\}$ mamy:

$|c_{m_n}-L^\star|<|c_{m_n}-{L}_n|+|{L}_n-L^\star| = (c_{m_n}-{L}_n)+(L^\star-{L}_n) \le 1/2^n + (L^\star-{L}_K) <\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$

Tym samym wykazaliśmy zbieżność ciągu $(c_{m_n})_n$ do $L^\star$.

Zauważmy, że $L^\star$ jest także granicą ciągów $(M_{n})_n$ oraz $R_n=M_n+d/2^n$.

Wniosek: twierdzenie Weierstrassa

Prawie bezpośrednio z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wynika następujące twierdzenie, nazywane często twierdzeniem Weierstrassa.

Sformułowanie

Jeśli $f: [a,b] \to \mathbb R$ jest funkcją ciągłą, to jej obraz jest zbiorem ograniczonym. Ponadto funkcja $f$ osiąga swoje kresy, tzn. dla pewnych liczb $c,d\in [a,b]$ mamy

$\forall x \in [a,b]\quad f(d) \leqslant f(x) \leqslant f(c)$.

Dowód

Pokażemy najpierw, że obraz funkcji $f$ jest ograniczony. Ponieważ każdy z przedziałów funkcji $(-M,M)$, dla $M\in\mathbb R$, jest zbiorem otwartym, a $f$ jest ciągła, to otwarte (w zbiorze $[a,b]$) są zbiory $f^{-1}[ (-M,M) ]$. Oczywiście rodzina $\{f^{-1}[(-M,M)]:M\in\mathbb R\}$ pokrywa przedział $[a,b]$, więc ze zwartości tego ostatniego, istnieją $M_1,\dots,M_s>0$, dla których $[a,b]=f^{-1}[(-M_1,M_1)]\cup\dots\cup f^{-1}[(-M_s,M_s)]$. Wówczas, jak łatwo widać, dla dowolnego $x\in[a,b]$ mamy $-M\le f(x\le M$, gdzie $M=\max\{M_1,\dots,M_S\}$, co oznacza, że $f$ jest funkcją ograniczoną.

Oznaczmy kres górny obrazu $f$ przez $\tilde{d}$. Oczywiście $\tilde{d}\in\mathbb R$ i istnieje ciąg $(d_n)_{n=0}^\infty$ punktów przedziału $[a,b]$ dla których ciąg $f(d_n)$ jest zbieżny do $\tilde{d}$. Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wiemy, że istnieje podciąg $(d_{n_k})_{k=0}^\infty$ ciągu $(d_{n})_{n=0}^\infty$ zbieżny do pewnej granicy ${d}$. Wtedy na mocy ciągłości funkcji $f$ otrzymujemy $f({d}) = \lim_{k \to \infty} f(d_{n_k}) = \tilde{d}$. A więc wartość funkcji f w punkcie ${d}\in [a,b]$ jest kresem górnym obrazu $f$ (a więc także $f(x)\leqslant f(d)$ dla wszystkich $x\in [a,b]$).

W analogiczny sposób pokazujemy istnienie liczby ${c}$, dla której $f({c})=\inf\{f(x):a\le x\le b\}$.

Uwaga

Założenie zwartości (domkniętości i ograniczoności) dziedziny funkcji (odcinka $[a,b]$) jest istotne. Na przykład funkcja $f: (0,1]\ni x \mapsto 1/x \in\mathbb{R}$ jest ciągła ale nie jest ograniczona. Podobnie $f: \mathbb{R}\ni x \mapsto e^x\in \mathbb{R}$ nie jest ograniczona, mimo że dziedzina - cała prosta - jest domknięta.

Uwagi

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa jest także bezpośrednim wnioskiem z twierdzenia Heinego-Borela, głoszącego, że podzbiór prostej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest on domknięty i ograniczony oraz równoważności zwartości ze zwartością ciągową w przestrzeniach metryzowalnych.