Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Twierdzenie Cayleya–Hamiltona (nazwa od matematyków Artura Cayleya i Williama Hamiltona) mówi, że każda macierz kwadratowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych jest pierwiastkiem swojego wielomianu charakterystycznego.

Dokładniej; jeżeli A jest macierzą n×n oraz I_n  jest macierzą identycznościową n×n to wielomian charakterystyczny A jest zdefiniowany jako:

$w(\lambda)=\det(\lambda I_n-A)\,$

gdzie "det" oznacza wyznacznik.

Twierdzenie Cayleya–Hamiltona mówi, że podstawienie $A$ do wielomianu charakterystycznego daje w rezultacie macierz złożoną z samych zer:

$w(A)=0_n.\,$

Ważnym wnioskiem z teorii Cayleya–Hamiltona jest fakt, że wielomian minimalny danej macierzy jest dzielnikiem wielomianu charakterystycznego. Jest to bardzo przydatne podczas znajdowania postaci Jordana danej macierzy.

Przykład

Rozważmy macierz

$A = \begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}.$

Wielomian charakterystyczny tej macierzy ma następującą postać:

$w(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\ -3&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-2\cdot3=\lambda^2-5\lambda-2.$

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że

$A^2-5A-2I_2=0_2$

czyli:

$A^2-5A-2I_2=\begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}^2-5*\begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}-2*\begin{bmatrix}1&0\\ 0&1\end{bmatrix}=$

$\begin{bmatrix}7&10\\ 15&22\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}5&10\\ 15&20\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2&0\\ 0&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\ 0&0\end{bmatrix}.$

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona pozwala obliczać potęgi macierzy o wiele prościej, niż przez bezpośrednie mnożenia.

Biorąc powyższe wyniki

$A^2-5A-2I_2=0_2$

$A^2=5A+2I_2.$

policzmy A⁴:

$A^3=(5A+2I_2)A=5A^2+2A=5(5A+2I_2)+2A=27A+10I_2$

$A^4=A^3A=(27A+10I_2)A=27A^2+10A=27(5A+2I_2)+10A$

$A^4=145A+54I_2.$