Twierdzenie Cevy

Przypadek 1.: trzy proste mają wspólny punkt O wewnątrz ABC

Przypadek 2.: trzy proste mają wspólny punkt O zewnątrz ABC

Twierdzenie Cevy – twierdzenie geometrii płaskiej sformułowane i udowodnione przez matematyka włoskiego Giovanniego Cevę w 1678 roku. Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe i także zostało udowodnione przez Cevę. Jego uogólnieniem jest twierdzenie Ponceleta.

Treść

Jeżeli trzy proste $AD, BE$ i $CF$ przechodzące przez wierzchołki trójkąta $ABC$ przecinają się w jednym punkcie to,:

$\frac{|AF|}{|FB|} \cdot \frac{|BD|}{|DC|} \cdot \frac{|CE|}{|EA|} = 1$

Na drugim z rysunków będących ilustracjami twierdzenia widać, iż punkt przecięcia się prostych $O$ może leżeć poza trójkątem.

Dowód

Przyjmijmy, że:

$x = \frac{|BD|}{|DC|},\;y = \frac{|CE|}{|EA|},\; z = \frac{|AF|}{|FB|}$

Wtedy:

$\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{P_{\Delta ADB}}{P_{\Delta ADC}}$

oraz

$\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{P_{\Delta ODB}}{P_{\Delta ODC}}$

Z tego wynika, że

$x = \frac{P_{\Delta AOB}}{P_{\Delta AOC}}$

Analogicznie:

$y = \frac{P_{\Delta COB}}{P_{\Delta AOB}}$

$z = \frac{P_{\Delta AOC}}{P_{\Delta COB}}$

Zatem:

$x\cdot y\cdot z = \frac{P_{\Delta AOB}}{P_{\Delta AOC}}\cdot \frac{P_{\Delta COB}}{P_{\Delta AOB}}\cdot \frac{P_{\Delta AOC}}{P_{\Delta COB}}$

Po skróceniu otrzymujemy:

$x\cdot y\cdot z = 1$,

ale

$x\cdot y\cdot z = \frac{|AF|}{|FB|} \cdot \frac{|BD|}{|DC|} \cdot \frac{|CE|}{|EA|}$

więc:

$\frac{|AF|}{|FB|} \cdot \frac{|BD|}{|DC|} \cdot \frac{|CE|}{|EA|} = 1$

Twierdzenie odwrotne

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Cevy jest prawdziwe przy dodatkowym założeniu, że proste $AD$, $BE$ i $CF$ nie są równoległe. Załóżmy, że punkty $D$, $E$ i $F$ spełniają powyższe równanie. Na mocy dodatkowego założenia bez straty ogólności można założyć, że prosta $AD$ nie jest równoległa do prostej $BE$. Niech $AD$ i $BE$ przecinają się w $O$ i niech $CO$ przecina $AB$ w $F'$. Z udowodnionej przed chwilą implikacji,

$\frac{AF'}{F'B} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$.

Z porównania dwóch ostatnich równań jest

$\frac{AF'}{F'B} = \frac{AF}{FB}$.

Po dodaniu jedynki do obu stron i wykorzystaniu równości $AF' + F'B = AF + FB = AB$, zachodzi

$\frac{AB}{F\ 'B} = \frac{AB}{FB}$.

A więc $F'B = FB$, czyli $F$ i $F'$ pokrywają się (ponieważ na wspólnej półprostej $AB$ o początku w $B$). A więc $AD$, $BE$ i $CF = CF'$ przecinają się w $O$.

Zastosowania

Twierdzenie Cevy i doń odwrotne mają wiele zastosowań w geometrii. Na przykład za pomocą twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy można łatwo dowieść, że w każdym trójkącie w jednym punkcie przecinają się wysokości, środkowe, dwusieczne (są to tzw. proste Cevy)

Twierdzenie Cevy dla czworościanu

Niech A', B', C', D' oznaczają punkty czworościanu ABCD leżące odpowiednio wewnątrz odcinków AB, BC, CD, DA. Załóżmy, że płaszczyzny ABC', BCD', CDA', DAB' przecinają się w jednym punkcie. Wówczas zachodzi równość:

$\frac{AA'}{A'B} \frac{BB'}{B'C} \frac{CC'}{C'D} \frac{DD'}{D'A} = 1$

Dowód polega na zauważeniu, że punkt precięcia płaszczyzn leży zarówno na prostej A'C', jak i B'D', które są przecięciami dwóch z tych płaszczyzn. Stąd wynika, że A'B'C'D' leżą na jednej płaszczyźnie, a z twierdzenia Menelaosa dla czworościanu - teza.

Twierdzenie odwrotne, mówiące że jeśli spełniona jest równość

$\frac{AA'}{A'B} \frac{BB'}{B'C} \frac{CC'}{C'D} \frac{DD'}{D'A} = 1$,

to płaszczyzny ABC', BCD', CDA', DAB' przecinają się w jednym punkcie, jest również prawdziwe.

Zobacz też

• twierdzenie Menelaosa
• wersja trygonometryczna twierdzenia Cevy
• twierdzenie van Aubela