Twierdzenie Chinczyna

Twierdzenie Wienera-Chinczyna (twierdzenie Chinczyna-Wienera) głosi, że widmowa gęstość mocy słabo stacjonarnego procesu jest transformatą Fouriera odpowiadającej procesowi funkcji autokorelacji.

W przypadku ciągłym:

$S_{xx}(f)=\int_{-\infty}^\infty r_{xx}(\tau)e^{-j2\pi f\tau} \ d\tau$

gdzie

$r_{xx}(\tau) = \operatorname{E}\big[\, x(t)x^*(t-\tau) \, \big] \$

jest funkcją autokorelacji wyrażoną przez statystyczną wartość oczekiwaną, oraz gdzie

$S_{xx}(f) \$

oznacza widmową gęstość mocy procesu $x(t)\,$.

Symbol gwiazdki oznacza sprzężenie zespolone, może zostać pominięty dla procesu losowego o wartościach rzeczywistych.

Przypadek dyskretny:

$S_{xx}(f)=\sum_{k=-\infty}^\infty r_{xx}[k]e^{-j2\pi k f}$

gdzie

$r_{xx}[k] = \operatorname{E}\big[ \, x[n] x^*[n-k] \, \big] \$

oraz

$S_{xx}(f) \$

jest widmową gęstością mocy $x[n]\,$. Jest w tym przypadku funkcją okresową w dziedzinie częstotliwości.

Zastosowania

Twierdzenie wykorzystywane jest w analizie liniowych układów niezależnych od czasu. Pozwala na badanie układu, gdy sygnał wejściowy nie jest całkowalny z kwadratem i nie posiada transformaty Fouriera.