Twierdzenie Darboux

Twierdzenie Darboux – twierdzenie analizy matematycznej mówiące, że każda funkcja ciągła ma własność Darboux, czyli w szczególności, każda funkcja ciągła f w przedziale [a, b] przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy f(a) i f(b) (lub f(b) i f(a), gdy f(b)<f(a)). Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, Jeana Darboux.

[edytuj] Twierdzenie

Niech $f\colon [a, b] \to \mathbb R$ będzie taką funkcją ciągłą, że $f(a) \cdot f(b) <0$ (to znaczy jej wartości są różnych znaków na końcach przedziału). Istnieje wówczas taki punkt $c \in [a, b]$ , że $f(c) = 0$ .

Twierdzenie powyższe jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego twierdzenia mówiącego, że każda funkcja ciągła ma własność Darboux. W tym przypadku:

Jeżeli funkcja $f\colon [a, b] \to \mathbb R$ jest ciągła, $f(a) \ne f(b)$ oraz $d$ spełnia nierówność $f(a) < d < f(b)$ lub $f(a) > d > f(b)$ , to istnieje taki punkt $c \in [a, b]$ , że $f(c) = d$ .

[edytuj] Dowód topologiczny

Oznaczmy przez $B$ zbiór wartości funkcji $f$ , tzn. zbiór $\{f(x): x \in [a,b]\}$ . Wówczas zbiory $B_1 = B \cap (-\infty, d)$ oraz $B_2 = B \cap (d, \infty)$ są otwartymi i niepustymi podzbiorami przestrzeni $B$ (z topologią dziedziczoną z $\mathbb{R}$ ). Ponieważ $f$ jest ciągła, oznacza to, że przeciwobrazy $A_1=f^{-1}(B_1)$ i $A_2=f^{-1}(B_2)$ są niepustymi zbiorami otwartymi (w topologii indukowanej w $[a,b]$ ). Ponieważ jednak $[a,b]$ jest spójny, nie mogą być one rozłączne, co przeczy definicji zbiorów $B_1$ i $B_2$ .

[edytuj] Dowód analityczny

Bez straty ogólności możemy założyć, że $f(a)<f(b)$ . Niech $c=\sup\{x\in[a,b]: f(x)\le d \}$ .

Wówczas oczywiście $c\in[a,b]$ oraz na mocy ciągłości $f$ , zachodzi $f(c)\le d$ . Gdyby $f(c)$ był różny od $d$ , to dla pewnego $0<\delta<\min\{(c-a),(b-c)\}$ , byłoby $f(x)<d$ , o ile tylko $|x-c|<\delta$ . W szczególności byłoby $f(c+\delta/2)<d$ , co przeczy definicji $c$ , gdyż $c<c+\delta/2<b$ .