Twierdzenie Engela

Twierdzenie Engela - w teorii algebr Liego, twierdzenie dające odpowiedź na pytanie kiedy dana algebra Liego jest nilpotentna.

Definicje wstępne

Algebra Liego $\mathbf{L}$ jest nilpotentna, kiedy zstępujący ciąg centralny, zdefiniowany przez:

$\mathbf{L}_0 = \mathbf{L}$

$\mathbf{L}_{i+1} = [\mathbf{L}, \mathbf{L}_i]$

w końcu osiąga {0}.

Dla $x \in \mathbf{L}$ operator dołączony $\operatorname{ad}_x$ definiujemy przez:

$\operatorname{ad}_x(y) = [x, y]$

Operator dołączony jest operatorem liniowym na przestrzeni wektorowej $L$.

Twierdzenie

Skończeniewymiarowa algebra Liego jest nilpotentna wtedy i tylko wtedy, gdy operator dołączony każdego elementu tej algebry jest nilpotentny.

Uwagi

Twierdzenie jest prawdziwe niezależnie od ciała nad którym zbudowana jest algebra Liego.