Twierdzenie Gaussa-Wantzela

Poniższa tabela zawiera liczby boków, dla wszystkich wielokątów foremnych dających się skonstruować cyrklem i linijką, mniejsze od miliona: 3=20×3 4=22 5=20×5 6=21×3 8=23 10=21×5 12=22×3 15=20×3×5 16=24 17=20×17 20=22×5 24=23×3 30=21×3×5 32=25 34=21×17 40=23×5 48=24×3 51=20×3×17 60=22×3×5 64=26 68=22×17 80=24×5 85=20×5×17 96=25×3 102=21×3×17 120=23×3×5 128=27 136=23×17 160=25×5 170=21×5×17 192=26×3 204=22×3×17 240=24×3×5 255=20×3×5×17 256=28 257=20×257 272=24×17 320=26×5 340=22×5×17 384=27×3 408=23×3×17 480=25×3×5 510=21×3×5×17 512=29 514=21×257 544=25×17 640=27×5 680=23×5×17 768=28×3 771=20×3×257 816=24×3×17 960=26×3×5 1020=22×3×5×17 1024=210 1028=22×257 1088=26×17 1280=28×5 1285=20×5×257 1360=24×5×17 1536=29×3 1542=21×3×257 1632=25×3×17 1920=27×3×5 2040=23×3×5×17 2048=211 2056=23×257 2176=27×17 2560=29×5 2570=21×5×257 2720=25×5×17 3072=210×3 3084=22×3×257 3264=26×3×17 3840=28×3×5 3855=20×3×5×257 4080=24×3×5×17 4096=212 4112=24×257 4352=28×17 4369=20×17×257 5120=210×5 5140=22×5×257 5440=26×5×17 6144=211×3 6168=23×3×257 6528=27×3×17 7680=29×3×5 7710=21×3×5×257 8160=25×3×5×17 8192=213 8224=25×257 8704=29×17 8738=21×17×257 10240=211×5 10280=23×5×257 10880=27×5×17 12288=212×3 12336=24×3×257 13056=28×3×17 13107=20×3×17×257 15360=210×3×5 15420=22×3×5×257 16320=26×3×5×17 16384=214 16448=26×257 17408=210×17 17476=22×17×257 20480=212×5 20560=24×5×257 21760=28×5×17 21845=20×5×17×257 24576=213×3 24672=25×3×257 26112=29×3×17 26214=21×3×17×257 30720=211×3×5 30840=23×3×5×257 32640=27×3×5×17 32768=215 32896=27×257 34816=211×17 34952=23×17×257 40960=213×5 41120=25×5×257 43520=29×5×17 43690=21×5×17×257 49152=214×3 49344=26×3×257 52224=210×3×17 52428=22×3×17×257 61440=212×3×5 61680=24×3×5×257 65280=28×3×5×17 65535=20×3×5×17×257 65536=216 65537=20×65537 65792=28×257 69632=212×17 69904=24×17×257 81920=214×5 82240=26×5×257 87040=210×5×17 87380=22×5×17×257 98304=215×3 98688=27×3×257 104448=211×3×17 104856=23×3×17×257 122880=213×3×5 123360=25×3×5×257 130560=29×3×5×17 131070=21×3×5×17×257 131072=217 131074=21×65537 131584=29×257 139264=213×17 139808=25×17×257 163840=215×5 164480=27×5×257 174080=211×5×17 174760=23×5×17×257 196608=216×3 196611=20×3×65537 197376=28×3×257 208896=212×3×17 209712=24×3×17×257 245760=214×3×5 246720=26×3×5×257 261120=210×3×5×17 262140=22×3×5×17×257 262144=218 262148=22×65537 263168=210×257 278528=214×17 279616=26×17×257 327680=216×5 327685=20×5×65537 328960=28×5×257 348160=212×5×17 349520=24×5×17×257 393216=217×3 393222=21×3×65537 394752=29×3×257 417792=213×3×17 419424=25×3×17×257 491520=215×3×5 493440=27×3×5×257 522240=211×3×5×17 524280=23×3×5×17×257 524288=219 524296=23×65537 526336=211×257 557056=215×17 559232=27×17×257 655360=217×5 655370=21×5×65537 657920=29×5×257 696320=213×5×17 699040=25×5×17×257 786432=218×3 786444=22×3×65537 789504=210×3×257 835584=214×3×17 838848=26×3×17×257 983040=216×3×5 983055=20×3×5×65537 986880=28×3×5×257

Twierdzenie Gaussa-Wantzela – twierdzenie geometrii euklidesowej, które mówi, że $n$-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą postaci $2^k\cdot p_1\cdot p_2\dots\cdot p_s,$ gdzie $p_1,\ p_2,\ \dots p_s,\$ są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Jak dotąd znane jest tylko 5 liczb pierwszych Fermata: $F_0=3$, $F_1=5$, $F_2=17$, $F_3=257$, $F_4=65537$ i nie wiadomo czy jest ich więcej.

W szczególności we wzorze może być $s=0$ (wielokąty o liczbie boków będącą potęgą dwójki są konstruowalne) lub $k=0$ (twierdzenie obejmuje także wielokąty o nieparzystej liczbie boków). Tak więc, konstruowalne są m.in. pięciokąt $(k=0,\ s=1,\ p_1=F_1)$ i sześciokąt foremny $(k=1,\ s=1,\ p_1=F_0)$, ale już nie siedmiokąt.

Historia

W starożytności matematycy potrafili konstruować za pomocą cyrkla i linijki $n$-kąty foremne dla $n$ postaci $2^k,\ 3\cdot 2^k,\ 5\cdot 2^k$ i $3\cdot5\cdot2^k$.

W roku 1796 Gauss skonstruował siedemnastokąt foremny, a w roku 1801 udowodnił, że warunek podany w twierdzeniu jest wystarczający dla przeprowadzenia konstrukcji. Przypuszczał też, że jest to warunek konieczny, jednak dowodu nie podał. W roku 1837 wykazał to Pierre Wantzel.

257-kąt foremny skonstruowano w 1832 roku. Sposób konstrukcji klasycznej 65537-kąta foremnego po raz pierwszy opublikował nauczyciel gimnazjum Johann Gustav Hermes w 1894. Sama konstrukcja zajmuje 200 stron, Hermes pracował nad nią przez 10 lat.

Związek z trójkątem Pascala

Jedynymi znanymi konstruowalnymi wielokątami foremnymi o nieparzystej liczbie boków są te, których liczba boków jest dzielnikiem $2^{32}-1=3 \cdot 5 \cdot\ 17 \cdot 257 \cdot 65537$, tj. 1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, ..., 4294967295 (z wyjątkiem 1). William Watkins zauważył, że liczby tego ciągu zapisane w systemie binarnym, znajdują się w pierwszych 32 wierszach trójkąta Pascala mod 2:

         1 = 1
         3 = 11
         5 = 101
        15 = 1111
        17 = 10001
        51 = 110011
        85 = 1010101
       255 = 11111111
       257 = 100000001
       771 = 1100000011
      1285 = 10100000101
      3855 = 111100001111
      4369 = 1000100010001
     13107 = 11001100110011
     21845 = 101010101010101
     65535 = 1111111111111111
     65537 = 10000000000000001
    196611 = 110000000000000011
    327685 = 1010000000000000101
    983055 = 11110000000000001111
   1114129 = 100010000000000010001
   3342387 = 1100110000000000110011
   5570645 = 10101010000000001010101
  16711935 = 111111110000000011111111
  16843009 = 1000000010000000100000001
  50529027 = 11000000110000001100000011
  84215045 = 101000001010000010100000101
 252645135 = 1111000011110000111100001111
 286331153 = 10001000100010001000100010001
 858993459 = 110011001100110011001100110011
1431655765 = 1010101010101010101010101010101
4294967295 = 11111111111111111111111111111111

Następny wiersz w tym ciągu, 4294967297, jest kolejną liczbą Fermata: F₅ = 2³² + 1. Ponieważ jednak nie jest ona liczbą pierwszą (4294967297 = 641 · 6700417), nie można skonstruować wielokąta o takiej liczbie boków.

Bibliografia

1. Witold Więsław: Matematyka i jej historia. Opole: Wydawnictwo NOWIK, 1997. ISBN 83-905456-7-5. 
2. John H. Conway, Richard K. Guy: Księga liczb. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1999. ISBN 83-204-2366-X.