Twierdzenie Hahna-Banacha

Twierdzenie Hahna-Banacha – podstawowe twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane i udowodnione niezależnie przez Hansa Hahna i Stefana Banacha w latach 20. XX wieku.

Twierdzenie to mówi o możliwości rozszerzenia ograniczonych funkcjonałów liniowych z podprzestrzeni przestrzeni unormowanej na całą przestrzeń, a także o bogatej strukturze przestrzeni sprzężonej.

Twierdzenie

Niech

(a) X będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych,

(b) $p\colon X\to {\mathbb R}$ będzie funkcjonałem podaddytywnym i dodatnio jednorodnym, tzn.

$p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)$ dla wszystkich x, y ∈ X,

$p(\alpha x)=\alpha p(x)$ dla wszystkich α ∈ [0, ∞) i x ∈ X,

(c) M będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni X,

(d) $\varphi\colon M \to {\mathbb R}$ będzie takim odwzorowaniem liniowym, że

$\varphi(x)\leqslant p(x)$ dla wszystkich x ∈ M.

Wówczas istnieje taki funkcjonał liniowy $\Phi\colon X\to{\mathbb R}$, że

$\Phi(x)= \varphi(x)$

dla wszystkich x ∈ M oraz

$\Phi(x)\leqslant p(x)$

dla wszelkich x ∈ X.

Uwagi o dowodzie

• Zwykle dowód twierdzenia Hahna-Banacha jest budowany przy użyciu lematu Kuratowskiego-Zorna, choć niektórzy autorzy podają dowody indukcyjne (dowody podane przez Hahna w 1927 i Banacha w 1929 były właśnie indukcyjne).
• Przy pomocy twierdzenia Hahna-Banacha można udowodnić paradoks Banacha-Tarskiego, więc każdy dowód twierdzenia Hahna-Banacha wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru.
• Aksjomat o wyborach zależnych wystarczy dla dowodu twierdzenia Hahna-Banacha dla przestrzeni ośrodkowych. Twierdzenie o rozszerzaniu filtrów do ultrafiltrów wystarczy do udowodnienia twierdzenia Hanha-Banacha w pełnej ogólności, ale to ostatnie twierdzenie nie implikuje że każdy filtr jest zawarty w filtrze maksymalnym.

Wnioski

• Jeżeli $X$ jest rzeczywistą przestrzenią liniową, a funkcjonał $p\colon X\to\mathbb{R}$ spełnia warunek (b), to dla każdego $x_0\in X$ istnieje taki funkcjonał liniowy $f\colon X\to \mathbb{R}$, że $f(x_0)=p(x_0)$ oraz $f(x)\leqslant p(x)$ dla $x\in X$.
• Załóżmy, że

(a) $X$ jest przestrzenią liniową nad ciałem ${\mathbb K}$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych, a $p\colon X\longrightarrow [0,\infty)$ jest półnormą,

(b) $M\subseteq X$ jest podprzestrzenią liniową, oraz $\varphi_0\colon M \to {\mathbb K}$ jest funkcjonałem liniowym takim, że

$|\varphi_0(x)|\leqslant p(x)$ dla wszystkich $x\in M$.

Wówczas istnieje funkcjonał liniowy $\varphi\colon X\to{\mathbb K}$ taki, że $\varphi|_M=\varphi_0$ oraz

$|\varphi(x)|\leqslant p(x)$ dla wszystkich $x\in X$.

• Jeśli $X$ jest przestrzenią unormowaną, $M$ jest jej podprzestrzenią liniową oraz $x^* \in M^*$, to istnieje $y^*\in X^*$ taki, że

$y^*|_M = x^*$ oraz $\|x^*\|=\|y^*\|$.

• Twierdzenie o wydobywaniu normy: Jeśli $X$ jest niezdegenrowaną przestrzenią unormowaną oraz $x\in X\setminus \{0\}$, to $\|x\|=x^* x$ dla pewnego $x^*\in X^*$ takiego, że $\|x^*\|= 1$. Ponadto

$\|x\|=\sup\big\{|x^* x|\colon\,x^*\in X^*\, , \|x^*\|= 1\big\}$.

• Jeśli $X$ jest przestrzenią unormowaną, $M$ jest jej domkniętą podprzestrzenią liniową oraz $x\in X\setminus M$, to istnieje $x^*\in X^*$ taki, że

$f(x)=1,\; x^*|_M\equiv 0$ oraz $\|x^*\|=\tfrac{1}{{\rm dist}(x,M)}$.

• Twierdzenia o oddzielaniu.
• Stosując twierdzenie Hahna-Banacha można udowodnić istnienie granicy Banacha i funkcjonału Banacha.

Modyfikacje twierdzenia Hahna-Banacha

Idea przedłużania odwzorowań z podprzestrzeni na całą przestrzeń z zachowaniem pewnych szczególnych własności, zawarta w twierdzeniu Hahna-Banacha, została przeniesiona także na inne przypadki przestrzeni czy odwzorowań. Na przykład:

Twierdzenie Kreina

Niech $P$ będzie stożkiem wypukłym w rzeczywistej przestrzeni liniowo-topologicznej $X$ o niepustym wnętrzu. Jeżeli $M$ jest podprzestrznią liniową przestrzeni $X$ oraz $\varphi_0\colon M\to \mathbb{R}$ jest funkcjonałem liniowym takim, że

$\varphi_0(M\cap P)\subseteq [0,\infty)$,

to istnieje funkcjonał liniowy $\varphi\colon X\to \mathbb{R}$ taki, że

$\varphi|_M=\varphi_0$

oraz

$\varphi(P)\subseteq [0,\infty)$.

Bibliografia

1. William Arveson, The Noncommutative Hahn-Banach theorems. [1]
2. Mark Aronovich Naimark, Normed Rings. Wolters–Noordhoff, Groningen, 1970, s. 63
3. Gerd Wittstock, Ein operatorwertiger Hahn-Banach Satz, J. Funct. Anal. 40 (1981), s. 127–150.

Zobacz też

• aksjomat wyboru,
• twierdzenie Kreina-Milmana,
• twierdzenie o rozszerzaniu miary.