Twierdzenie Herona

Twierdzenie Herona, zagadnienie Herona – twierdzenie Herona z Aleksandrii dotyczące drogi promienia światła. Jedno z najstarszych zagadnień na ekstremum.

Treść twierdzenia

Niech ustalone punkty $P,Q\,$ leżą po tej samej stronie prostej $l\,$. Weźmy dowolny punkt $R\in l\,$.

Oznaczmy przez $\alpha\,$ miarę kąta pomiędzy odcinkiem $RP\,$ i prostą $l\,$, przez $\beta\,$ miarę kąta pomiędzy odcinkiem $RQ\,$ i $l\,$.

Wówczas zachodzi następująca równoważność:

Łamana $PRQ\,$ ma najmniejszą długość $\Leftrightarrow \,$ $\alpha=\beta\,$.

Obrazowo treść tego twierdzenie można tak wyrazić:

Łamana $PRQ\,$ jest najkrótsza wtedy i tylko wtedy, gdy kąt padania jest równy kątowi odbicia.

Dowód

Skonstruujmy punkt $P'\,$ symetryczny do $P\,$ względem prostej $l\,$ i oznaczmy przez $\alpha'\,$ miarę kąta pomiędzy odcinkiem $RP'\,$ i $l\,$.

Oczywiście zachodzi $|RP|=|RP'|\,$ oraz $\alpha=\alpha'\,$.

Dostajemy ciąg równoważnych zdań:

Łamana $PRQ\,$ ma najmniejszą długość $\Leftrightarrow \,$ Łamana $P'RQ\,$ ma najmniejszą długość $\Leftrightarrow \,$ punkty $P',R,Q\,$ są współliniowe $\Leftrightarrow \,$ $\beta=\alpha'\,$ $\Leftrightarrow \,$ $\beta=\alpha\,$ .

Druga z powyższych równoważności opiera się na nierówności trójkąta, trzecia na własności kątów wierzchołkowych.

Przykłady zastosowania

W fizyce

Twierdzenie znalazło zastosowanie w optyce. Stosuje się je przy konstrukcji obrazu w zwierciadle płaskim.

W matematyce

W matematyce używane często przy rozwiązywaniu zadań o trójkątach oraz dotyczących drogi o najmniejszej długości (czyli minimum). Przykładowe zadania:

• Tomek chce dojść jak najkrótszą trasą z miejscowości P do Q, po drodze zaczerpując wody z rzeki l. Skonstruować tę trasę.

• Dany jest trójkąt o danym polu S i boku c = PQ. Spośród wszystkich takich trójkątów znaleźć ten, w którym suma pozostałych boków a + b jest najmniejsza.

Z warunku pierwszego (ustalone pole) wynika, że szukany trzeci wierzchołek znajduje się na prostej l równoległej do odcinka c, ponieważ odległość tego wierzchołka od prostej stanowiącej przedłużenie danego boku trójkąta musi być stała i wynosić h = 2S/c (wynika to ze wzoru na pole trójkąta S = 1/2 hc). Punkty P i Q są zatem jednakowo oddalone od prostej l. W tym szczególnym przypadku zgodnie z twierdzeniem Herona szukany trzeci wierzchołek trójkąta będzie równoodległy od punktów P i Q, a otrzymany trójkąt – równoramienny.

Zobacz też

• Zwierciadło optyczne
• Zwierciadło płaskie
• Geometria

Bibliografia

• R. Courant, H. Robbins: Co to jest matematyka. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1967.