Twierdzenie Landaua

Twierdzenie Landaua - klasyczne twierdzenie analizy matematycznej o zbieżności szeregów liczbowych. Nazwa twierdzenia pochodzi o nazwiska matematyka Edmunda Landaua.

Twierdzenie Landaua: Jeżeli szereg liczbowy

$\sum_{k=1}^\infty s_k t_k$

jest zbieżny dla każdego ciągu $(s_k) \in l^q$ to $(t_k) \in l^p$, gdzie $1 \le p,q \le \infty$ oraz $\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1$.

Dowód twierdzenia Landaua wykorzystuje twierdzenie Banacha-Steinhausa (twierdzenie, którego dowód wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru). Josef Berger i Douglas Bridges wykazali, że istnieje całkowicie konstruktywny dowód twierdzenia Landaua.

Istnieje analogiczne twierdzenie dla funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a:

Jeżeli funkcja $x$ jest mierzalna w sensie Lebesgue'a na przedziale $(a,b)$ oraz funkcja $xy$ jest całkowalna na $(a,b)$ dla każdej funkcji $y\in L^q(a,b)$, to $x\in L^p(a,b)$, gdzie $1 \le p,q \le \infty$ oraz $\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1$.

Bibliografia

• J. Musielak. Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1989 (wydanie czwarte), ss. 157-158