Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa

Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową (potrójną) i na odwrót, w zależności od potrzeb, w której funkcją podcałkową po objętości jest dywergencja pola wektorowego $\vec a$.

Stosowane jest w elektrodynamice teoretycznej, przede wszystkim w teorii pola, elektronice, telekomunikacji i energetyce.

Teza

Niech $V \in \mathbb R^3$ będzie obszarem ograniczonym powierzchnią zamkniętą $S$, a $P(x, y, z), Q(x, y, z)$ i $R(x, y, z)$ będą funkcjami posiadającymi ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze $V$. Prawdziwa jest wówczas następująca zależność:

$\iint\limits_S (P\; dy dz + Q\; dz dx + R\; dx dy) = \iiint\limits_V \left( {\partial P \over \partial x} + {\partial Q \over \partial y} + {\partial R \over \partial z} \right)\; dx dy dz$

Przy czym całka po lewej stronie jest po zewnętrznej stronie powierzchni $S$.

Uwagi

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego często zapisujemy w postaci wektorowej:

Niech zatem $\vec A$ będzie dowolnym polem wektorowym, dla którego istnieje dywergencja na całym zamkniętym obszarze o objętości $V=[x,y,z]$:

$\iint\limits_S \vec{\mathbf A}\cdot d \vec{\mathbf S} = \iiint\limits_V~\operatorname{div} \vec{\mathbf A}\; dx dy dz$

gdzie $\vec{\mathbf S}$ jest wektorem powierzchni. Można to zapisać prościej:

$\int\limits_S \vec {\mathbf A}\cdot d \vec{\mathbf S} = \int\limits_V \left(\nabla \cdot \vec {\mathbf A} \right)\; dV$

Zaletą wzoru zapisanego w ten sposób jest jego zwięzłość.

Zobacz też

• prawo Gaussa (elektryczność)
• twierdzenie Stokesa