Twierdzenie Pappusa-Guldina

Twierdzenia Pappusa-Guldina – dwa twierdzenia stereometrii, ułatwiające obliczanie pola powierzchni obrotowej oraz objętości bryły obrotowej w oparciu o położenie środka ciężkości obracanej krzywej lub figury.

Twierdzenia nazwane zostały od nazwisk Pappusa z Aleksandrii i Paula Guldina.

Pierwsze twierdzenie Pappusa-Guldina

Pole powierzchni, powstałej przez obrót jednorodnej i płaskiej linii dookoła osi leżącej w płaszczyźnie tej linii i nie przecinającej jej, jest równe długości linii ($s$) pomnożonej przez długość okręgu ($l = 2 \pi r_s$) opisanego przy obrocie przez jej środek ciężkości (punkt $C$).

Np. dla torusa o promieniu $R$ i promieniu okręgu $r$, długość linii $s = 2 \pi r$, długość okręgu dla środka ciężkości $l = 2 \pi R$, stąd pole torusa $s \cdot l = 4 \pi^2 r R$.

Drugie twierdzenie Pappusa-Guldina

Objętość bryły, powstałej przy obrocie figury płaskiej dookoła osi leżącej w płaszczyźnie tej figury i nie przecinającej jej, jest równa polu powierzchni figury ($A$) pomnożonemu przez długość okręgu opisanego ($l = 2 \pi R_s$) przy obrocie przez jej środek ciężkości (punkt $C_A$).

Np. dla torusa o promieniu $R$ i promieniu koła $r$, pole powierzchni koła $A = \pi r^2$, długość okręgu dla środka ciężkości $l = 2 \pi R$, stąd objętość torusa $A \cdot l = 2 \pi^2 r^2 R$.

Zobacz też

• Twierdzenie Pappusa