Twierdzenie Poissona

Twierdzenie Poissona dostarcza dobrego przybliżenia uzyskania konkretnej liczby sukcesów w schemacie Bernoulliego w przypadku, gdy prawdopodobieństwo sukcesu jest małe oraz iloczyn prawdopodobieństwa sukcesu i liczby prób dąży do pewnej stałej.

Twierdzenie

Niech $B_n$ będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładach dwumianowych $B(n,p_n)$. Wówczas jeżeli $\lim\limits_{n\to\infty}np_n=\lambda$, to zachodzi

$\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb P(B_n=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$,

lub równoważnie

$B_n\stackrel{D}{\longrightarrow}X, X\sim Poiss(\lambda)$

Dowód

Z definicji rozkładu dwumianowego dostajemy, że $P(B_n=k)=\binom{n}{k}p_n^k(1-p_n)^{n-k}$. Niech $\lambda_n=np_n$, wtedy mamy z założenia, że $\lambda_n\longrightarrow\lambda$. Mamy zatem

$P(B_n=k)=\binom{n}{k}p_n^k(1-p_n)^{n-k}=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\ldots(n-k+1)\frac{(np_n)^k}{n^k k!}(1-\frac{\lambda_n}{n})^{n} (1-\frac{\lambda_n}{n})^{-k}=$

$\frac{n-1}{n}\ldots\frac{n-k+1}{n}\cdot\frac{(np_n)^k}{k!}(1-\frac{\lambda_n}{n})^{n} (1-\frac{\lambda_n}{n})^{-k}\longrightarrow\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$

Uwaga

Można przeprowadzić dowód w inny sposób, używając funkcji charakterystycznej. Wystarczy wykazać, że funkcja charakterystyczna zmiennej $B_n$ dąży do funkcji charakterystycznej rozkładu Poissona o stałej $\lambda$ (jeśli $X\sim Poiss(\lambda)$, to $\mathbb P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$).

Komentarz

Twierdzenie Poissona podobnie jak centralne twierdzenie graniczne służy do opisywania sum niezależnych zmiennych losowych. Rożnica między tymi twierdzeniami polega na tym, że centralne twierdzenie graniczne mówi nam o sytuacjach, w których prawdopodobieństwo zajścia pojedynczego zdarzenia jest umiarkowane, a twierdzenie Poissona opisuje sytuacje, w których prawdopodobieństwo zajścia pojedynczego zdarzenia jest małe. Dobrym przykładem sytuacji, w której warto stosować twierdzenie Poissona do oszacowań, jest prawdopodobieństwo wygrania dużej kwoty na loterii.