Twierdzenie Rao-Blackwella

Twierdzenie Rao-Blackwella:

Niech A będzie wypukłym zbiorem decyzji, i niech $L(a,\theta)$ będzie wypukłą funkcją parametru $a$, dla każdego ustalonego $\theta$ ze zbioru parametrów. Niech $T$ będzie statystyką dostateczną a $d$ pewną regułą decyzyjną wtedy $d_0 = E(d |T )$ jest regułą decyzyjną zależną tylko od $T$ i nie gorszą od $d$.

Dowód:

Lemat:

Niech $C$ będzie zbiorem wypukłym, a $Z$ zmienną losową taką, że $P(Z \in C) =1$ wtedy $EZ \in C$ o ile istnieje.

A jest zbiorem wypukłym, a więc $d_0 \in A$ czyli $d_0$ jest regułą decyzyjną.

$T$ jest statystyką dostateczną, więc można wybrać wersję warunkowej wartości oczekiwanej niezależną od $\theta$.

$R(d, \vartheta) = E L(d,\vartheta) = E[E(L(d,\vartheta)|T] \geqslant E[L(E(d|T),\vartheta)] = E(d_0,\vartheta) = R(d_0,\vartheta)$

Co kończy dowód.

Oczywistym wnioskiem jest także to, że klasa reguł decyzyjnych jest istotnie zupełna