Twierdzenie Riesza-Skorochoda

Twierdzenie Riesza-Skorochoda – twierdzenie z pogranicza teorii miary i analizy funkcjonalnej, postulujące, że dla nieujemnego funkcjonału liniowego, spełniającego warunek Skorochoda, istnieje dokładnie jedna miara, po której całka jest tym funkcjonałem.

Ustalenia wstępne

Ustalmy przestrzeń metryczną $(X,\varrho)$ i niech:

$\mathcal{B}(X)$ - σ-ciało wszystkich podzbiorów borelowskich przestrzeni $X$,

$C(X)$ - przestrzeń wszystkich ciągłych i ograniczonych odwzorowań przestrzeni $X$ w $\mathbb{R}$ z normą supremum.

Funkcjonał liniowy $\varphi\colon C(X) \to \mathbb{R}$ nazywamy nieujemnym, gdy $\varphi(f)\geqslant 0$ dla każdej ciągłej i ograniczonej funkcji $f\colon X \to [0,\infty)$.

Uwagi

• Każdy nieujemny funkcjonał liniowy $\varphi\colon C(X)\to \mathbb{R}$ jest ciągły, $|\varphi(f)|\leqslant \varphi(|f|)$ oraz $\|\varphi\|=\varphi(\mathbf{1}_X)$.
• Jeżeli $\mu\colon \mathcal{B}(X) \to [0,\infty]$ jest miarą skończoną, to funkcjonał $\varphi\colon C(X)\to \mathbb{R}$ dany wzorem

$\varphi(f)=\int\limits_Xfd\mu$

jest liniowy i nieujemny, a jeżeli przestrzeń $(X,\varrho)$ jest przestrzenią polską, to spełniony jest:

Warunek Skorochoda

Dla każdego $\varepsilon>0$ istnieje taki zbiór zwarty $K\subset X$, że

$\forall_{f\in C(X)}[ f|_K=0 \Rightarrow |\varphi(f)|\leqslant \varepsilon \|f\| ]$.

Twierdzenie Riesza-Skorochoda

Jeżeli nieujemny funkcjonał liniowy $\varphi\colon C(X) \to \mathbb{R}$ spełnia warunek Skorochoda, to istnieje dokładnie jedna taka miara $\mu\colon \mathcal{B}(X) \to [0,\infty)$, że

$\varphi(f)=\int\limits_Xfd\mu$ dla $f\in C(X)$.

Wniosek

Dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego $\varphi\colon C(X) \to \mathbb{R}$ istnieje dokładnie jedna taka σ-addytywna funkcja zbiorów $\nu \colon \mathcal{B}(X)\to \mathbb{R}$, że

$\varphi(f)=\int\limits_Xfd\nu$ dla $f\in C(X)$.