Twierdzenie Riesza (przestrzenie Hilberta)

Twierdzenie Riesza o reprezentacji (funkcjonału) – jedno z podstawowych twierdzeń i narzędzi teoretycznych w analizie funkcjonalnej zawierające w nazwie nazwisko Frigyesa Riesza.

Dla dowolnie wybranego $y \in H$ odwzorowanie postaci $x \mapsto \langle x,y\rangle$ jest funkcjonałem liniowym, co sprawdza się bezpośrednim rachunkiem. Twierdzenie Riesza o reprezentacji wyraża twierdzenie odwrotne: każdy funkcjonał liniowy może być przedstawiony w tej postaci, a $H$ oraz $H^\star$ są izometrycznie izomorficzne, to znaczy istnieje między nimi wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość zachowująca normę elementów.

Twierdzenie

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Wówczas dla każdego funkcjonału liniowego $y^\star$ należącego do przestrzeni sprzężonej $H^\star$ istnieje dokładnie jeden taki element $y \in H$, że

$y^\star(x) = \langle x, y\rangle$

dla wszystkich $x \in H$.

Ponadto odwzorowanie $\sigma\colon H^\star \ni y^\star \mapsto y \in H$ jest wzajemnie jednoznacznym izometrycznym (tzn. $\|y\| = \|y^\star\|$) odwzorowaniem antyliniowym.