Twierdzenie Stokesa

George Gabriel Stokes (1819-1903)

Twierdzenie Stokesa – w najczęściej spotykanym przypadku trójwymiarowym, twierdzenie mówiące, że cyrkulacja pola wektorowego po zamkniętym i zorientowanym konturze gładkim jest równa strumieniowi rotacji pola przez dowolną powierzchnię ograniczoną tym konturem. Twierdzenie to odgrywa ważną rolę w teorii pól. Używane jest w mechanice płynów, równaniach Maxwella i wielu innych. Twierdzenia Greena i Ostrogradskiego-Gaussa można traktować jako szczególne przypadki twierdzenia Stokesa.

Najogólniejsza wersja twierdzenia Stokesa

Twierdzenie Stokesa można wypowiedzieć najogólniej dla n-wymiarowych powierzchni gładkich.

Załóżmy, że $H\subseteq \mathbb{R}^N$ jest orientowalną powierzchnią gładką, $K\subseteq H$ jest zbiorem zwartym oraz $K=\mbox{cl Int}K$ oraz, że brzeg $\mbox{Fr}K$ jest (M-1)-wymiarową powierzchnią gładką. Jeżeli $W\subseteq \mathbb{R}^N$ jest zbiorem otwarym zawierającym powierzchnię $H$, $\Omega\colon W\to S^{M-1}(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$ jest formą klasy $C^1$, a $\sigma$ jest orientacją powierzchni $H$, to

$\int\limits_{[K]_\sigma}d\Omega = \int\limits_{[\scriptstyle{\rm{Fr}}K]_{\sigma^{\scriptstyle{\rm{Fr}}}}}\Omega$,

gdzie orientacja $\sigma^{\rm{Fr}}$ powierzchni $\mbox{Fr}K$ dana jest wzorem

$\sigma^{\scriptstyle{\rm{Fr}}}(y)=\{(a_1, \ldots, a_{M-1})\in B_{(\scriptstyle{\rm{Fr}}K)_y}\colon\, (z(y), a_1, \ldots, a_{M-1})\in \sigma(y)\}$

dla $y\in \mbox{Fr}K$, a

$z\colon \mbox{Fr}K\to \mathbb{R}^N$

jest taką funkcją, że $z(y)$ jest wektorem zewnętrznym do zbioru $K$ w punkcie $y$, $|z(y)|=1$, $z(y)$ jest wektorem normalnym do powierzchni $\mbox{Fr}K$ w punkcie $y$ dla każdego $y\in \mbox{Fr}K$.

Wnioski

Wzór Gaussa-Ostrogradskiego

Załóżmy, że $W\subseteq \mathbb{R}^N$ jest zbiorem otwartym, $K\subseteq W$ takim zbiorem zwartym, że $K=\mbox{cl Int}K$, brzeg $\mbox{Fr}K$ jest (N-1)-wymiarową powierzchnią gładką oraz

$z\colon \mbox{Fr}K\to\mathbb{R}^N$

jest funkcją o własnościach

• $z(y)$ jest wektorem zewnętrznym do $K$ w punkcie $y$,
• $|z(y)|=1$,
• $z(y)$ jest wektorem normalnym do $\mbox{Fr}K$ w punkcie $y$ leżącym na brzegu $\mbox{Fr}K$.

Jeżeli $\omega\colon W\to\mathbb{R}^N$ jest funkcją klasy $C^1$, to

$\int\limits_{\scriptstyle{\rm{Fr}(K)}}\omega(y)z(y)\mu_{\scriptstyle{\rm{Fr}}}(dy)=\int\limits_K\mbox{div} \omega(y)dy$,

gdzie $\mbox{div}$ oznacza operator dywergencji.

Wzór Greena-Riemanna

Załóżmy, że $W\subseteq \mathbb{R}^2$ jest zbiorem otwartym, $K\subset W$ jest zbiorem zwartym takim, że $K=\mbox{cl Int}K$ oraz brzeg $\mbox{Fr}K$ jest krzywą gładką (to znaczy powierzchnią gładką 1-wymiarową), a ponadto

$s\colon \mbox{Fr}K\to \mathbb{R}^2$

jest funkcją o własnościach

• $s(y)$ jest wektorem stycznym do krzywej $\mbox{Fr}K$ w punkcie $y$
• $|s(y)|=1$
• $\det[z(y), s(y)]>0$, gdzie

$z(y)$ jest funkcją taką jak w poprzednim twierdzeniu (przy $N=2$). Jeżeli $\omega=(\omega_1, \omega_2)\colon W\to \mathbb{R}^2$ jest funkcją klasy $C^1$, to

$\int\limits_{\scriptstyle{\rm{Fr}(K)}}\omega(y)s(y)\mu_{\scriptstyle{\rm{Fr}}}(dy)=\int\limits_K(\omega_{2|1}(y)-\omega_{1|2}(y))dy$.