Twierdzenie Toeplitza

Twierdzenie Toeplitza (nazywane również twierdzeniem Toeplitza o regularnym przekształceniu ciągu) zostało sformułowane w 1911 roku przez matematyka niemieckiego Otto Toeplitza. Mówi ono o zbieżności szeregu powstałego przez pewne przekształcenie zbieżnego ciągu liczb rzeczywistych.

Przykład

Zachodzi następujące twierdzenie

Niech $(t_n)$ będzie zbieżnym do $t$ ciągiem liczb rzeczywistych. Wtedy zbieżny jest również ciąg $\left(\tfrac{t_1+t_2+\ldots+t_n}{n}\right)$ i ma granicę równą $t$.

Dowód. Skoro $t_n \to t$ dla $n \to \infty$, to dla dowolnego $\varepsilon > 0$ istnieje liczba naturalna $k$, taka że $|t_n-t|<\varepsilon$, dla $n>k$. Stąd $t-\varepsilon < t_i < t + \varepsilon$ dla $i=k+1,k+2,\ldots,n$. Sumując stronami powyższe nierówności, a następnie dzieląc przez $n-k$ otrzymujemy

(*)$t - \varepsilon < \frac{t_{k+1}+t_{k+2}+\ldots+t_n}{n-k} < t + \varepsilon$.

Ponadto oczywiście $\tfrac{t_1+t_2+\ldots+t_k}{n} \to 0$ gdy $n \to \infty$, co w połączeniu z (*) implikuje tezę.

Zauważmy, że wyrazy ciągu $\left(\tfrac{t_1+t_2+\ldots+t_n}{n}\right)$ możemy zapisać jako $\sum_{k=1}^{n} \tfrac{1}{n} t_k$. Naturalnym wydaje się pytanie, kiedy ciągi $(s_n)$ o wyrazach postaci $s_n = \sum_{k=1}^n a_{k,n} t_k$ będą zbieżne i czy ich granicą będzie $t$.

Twierdzenie Toeplitza

Niech $(a_{k,n})$ będzie nieskończonym układem liczb rzeczywistych, przy czym $1 \leqslant k \leqslant n$. Ponadto niech $(t_n)$ będzie zbieżnym ciągiem liczb rzeczywistych o granicy $t$. Jeśli spełnione są poniższe warunki

(1) $a_{k,n} \to 0$ dla $n \to \infty$ i dowolnie ustalonej liczby naturalnej $k$,

(2) $\sum_{k=1}^{n} a_{k,n} \to 1$ dla $n \to \infty$,

(3) $\sum_{k=1}^n |a_{k,n}| \leqslant M$ dla pewnej liczby $M > 0$ oraz wszystkich $n$,

to ciąg $(s_n)$, określony wzorem $s_n = \sum_{k=1}^n a_{k,n} t_k$ dla $n \geqslant 1$ jest zbieżny do $t$.

Twierdzenie odwrotne

Zachodzi również twierdzenie odwrotne.

Niech $(a_{k,n})$ będzie nieskończonym układem liczb rzeczywistych, przy czym $1 \leqslant k \leqslant n$. Jeśli dla każdego zbieżnego ciągu liczb rzeczywistych $(t_n)$, ciąg $(s_n)$ określony wzorem $s_n = \sum_{k=1}^n a_{k,n} t_k$ jest zbieżny do granicy ciągu $(t_n)$, to

(1) $a_{k,n} \to 0$ dla $n \to \infty$ i dowolnie ustalonej liczby naturalnej $k$,

(2) $\sum_{k=1}^{n} a_{k,n} \to 1$ dla $n \to \infty$,

(3) istnieje liczba $M > 0$, taka że $\sum_{k=1}^n |a_{k,n}| \leqslant M$ dla wszystkich $n$.