Twierdzenie Zermelo

Twierdzenie Zermelo – twierdzenie matematyczne mówiące o tym, że każdy zbiór daje się dobrze uporządkować. Spotyka się również inną nazwę tego twierdzenia, bardziej oddającą jego treść: twierdzenie o dobrym uporządkowaniu. Twierdzenie to jest równoważne pewnikowi wyboru; korzysta się z niego w dowodzie lematu Kuratowskiego-Zorna.

Formalnie twierdzenie Zermelo mówi, że dla dowolnego zbioru $S$ istnieje taki porządek $\langle S,\leqslant\rangle,$ że jest on dobrym porządkiem.

Zastosowania

Ważnym wnioskiem z twierdzenia Zermelo jest to, że liczby kardynalne są porównywalne, to znaczy, że dla dowolnych dwóch zbiorów $X$ i $Y$ zachodzi $\overline{X}\geqslant\overline{Y}$ lub $\overline{Y}\geqslant\overline{X},$ gdzie przez $\overline{X}$ oznacza moc zbioru $X.$ Jest tak, gdyż każdy z tych zbiorów można dobrze uporządkować, a zatem zgodnie z twierdzeniem o zbiorach dobrze uporządkowanych jeden z nich jest odcinkiem początkowym drugiego, a co za tym idzie ma moc mniejszą lub równą od niego.

Zobacz też

• zasada dobrego uporządkowania