Twierdzenie o czterech barwach

Twierdzenie o czterech barwach – dla każdego skończonego grafu planarnego $\left(V, E\right)$ istnieje funkcja $k:\,V\rightarrow\left\{ k_1,k_2,k_3,k_4\right\}$, taka że $\forall_{\{v_1,v_2\}\in E}\left(k(v_1)\neq k(v_2)\right)$, czyli możliwe jest przypisanie każdemu z jego wierzchołków jednej z czterech liczb 1, 2, 3 i 4 w taki sposób, aby żadne sąsiednie wierzchołki nie miały przyporządkowanej tej samej liczby. Jest to jeden z najsłynniejszych problemów matematycznych.

Równoważność zagadnienia dla mapy i dla grafu

Sformułowanie równoważne (mniej ścisłe matematycznie, lecz bardziej przemawiające do wyobraźni): dowolną mapę polityczną na płaszczyźnie lub sferze można zabarwić czterema kolorami tak, aby każde dwa kraje mające wspólną granicę (a nie tylko wspólny wierzchołek) miały inne kolory (zakładamy, że wszystkie państwa są spójne terytorialnie).

Przykładowe pokolorowanie mapy czterema barwami

Równoważność tych dwóch sformułowań łatwo zauważyć wyróżniając w każdym "kraju" "stolicę" i prowadząc drogi pomiędzy stolicami każdych dwóch sąsiednich krajów. Przechodzimy wówczas z mapy politycznej do grafu opisanego w pierwszym z powyższych sformułowań twierdzenia. Analogicznie można przejść w przeciwną stronę.

Hipoteza o prawdziwości twierdzenia została postawiona już w roku 1852, ale pełen dowód został przeprowadzony dopiero w 1976 roku. Dowód wszakże był bardzo "brzydki", gdyż wymagał sprawdzenia 1936 przypadków szczególnych przy pomocy komputera. Pojawiały się nawet wątpliwości, czy dowód jest poprawny.

Wątpliwości te usunięto za pomocą jego modyfikacji w 1994, a w 2004 udało się dokonać sprawdzenia poprawności przy użyciu komputerowego asystenta. Nikt dotąd nie udowodnił twierdzenia o czterech barwach bez komputerowego wspomagania, choć wymyślono pewne uproszczenia oryginalnego dowodu. Przypadek ten stał się okazją do dyskusji na temat dopuszczalnych metod dowodowych w matematyce.

Uogólnienia na przypadek innych powierzchni

Istnieje uogólnienie twierdzenia o czterech barwach także dla grafów rozpiętych na powierzchniach topologicznych, które nie są homeomorficzne ze sferą lub płaszczyzną: dla każdej powierzchni liczba kolorów potrzebnych do zabarwienia dowolnej narysowanej na niej mapy politycznej tak, aby dwa sąsiednie kraje nie miały tej samej barwy, jest równa maksymalnej liczbie krajów na tej powierzchni, z których każdy graniczy z każdym innym.

Na różnych powierzchniach liczba ta może być różna, na przykład na torusie (powierzchnia dętki) liczba ta wynosi 7 - matematycy korzystający z map w kształcie torusa uznaliby za ważniejsze dowodzenie "twierdzenia o siedmiu barwach".

Dla sfery i płaszczyzny uogólnione twierdzenie też jest prawdziwe, gdyż maksymalna liczba krajów, z których każdy dotyka każdego, jest na nich równa 4 (jeden kraj w środku i trzy dookoła).

To uogólnione twierdzenie dla wszelkich powierzchni poza sferą i płaszczyzną zostało udowodnione wcześniej niż twierdzenie o czterech barwach, i bez komputera. Pokonanie twierdzenia o czterech barwach uzupełniło więc dowód dla ostatnich dwóch szczególnych przypadków.

Zobacz też

• graf planarny
• kolorowanie grafów
• system wspomagający dowodzenie twierdzeń

Bibliografia

• Oryginalny dowód twierdzenia o czterech barwach: K. Appel and W. Haken. Every planar map is four colorable. Bulletin of the American Mathematical Society, wol. 82, 1976 str. 711-712.
• Modyfikacja, która usunęła wątpliwości co do dowodu: N. Robertson, D. Sanders, P. Seymour, R. Thomas The Four Colour Theorem Preprint, luty 1994.
• Doniesienie o sprawdzeniu poprawności dowodu za pomocą komputerowego asystenta Coq: [1]

Linki zewnętrzne

• Historia dowodu twierdzenia o czterech barwach