Twierdzenie o filtrze pierwszym

Niech $\mathcal{K}$ będzie kratą rozdzielną. Wówczas krata dualna $\mathcal{K}^\mathbf{d}$ do $\mathcal{K}$ także jest rozdzielna. Jeśli teraz $a\not\leqslant b$ w $\mathcal{K}$, to $b\not\leqslant^\mathbf{d}a$ w $\mathcal{K}^\mathbf{d}$. Na mocy twierdzenia o ideale pierwszym, istnieje w $\mathcal{K}^\mathbf{d}$ ideał pierwszy $F$, dla którego $a\in F\,,\;b\not\in F$. Wówczas jak się okazuje $F$ jest filtrem pierwszym w wyjściowej kracie $\mathcal{K}$.

Tym samym wykazaliśmy:

Niech $\mathcal{K}$ będzie kratą rozdzielną i niech $a\not\leqslant b$. Wówczas istnieje w $\mathcal K$ filtr pierwszy $F$, dla którego $a\in F\,,\;b\not\in F$.