Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie

Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie − twierdzenie algebry liniowej mówiące o możliwości przedłużenia funkcji określonej na wektorach bazowych danej przestrzeni liniowej do przekształcenia liniowego określonego na całej przestrzeni. Dokładniej, jeżeli $\scriptstyle B$ jest bazą przestrzeni liniowej $\scriptstyle V$ , a $\scriptstyle W$ jest dowolną przestrzenią liniową nad tym samym ciałem co $\scriptstyle V,$ zaś $\scriptstyle \mathrm f\colon B \to W$ jest dowolną funkcją, to istnieje takie przekształcenie liniowe $\scriptstyle \mathrm T\colon V \to W,$ że $\scriptstyle \mathrm T(\mathbf b_i) = \mathrm f(\mathbf b_i)$ dla każdego elementu $\scriptstyle \mathbf b_i$ bazy $\scriptstyle B.$

[edytuj] Przykład

Aksjomat wyboru jest równoważny istnieniu bazy dowolnej przestrzeni liniowej. Ciało liczb rzeczywistych jest rozszerzeniem ciała liczb wymiernych; w szczególności $\scriptstyle \mathbb R$ jest przestrzenią liniową nad $\scriptstyle \mathbb Q$ , której baza $\scriptstyle B$ (nazywana czasem bazą Hamela) jest mocy continuum. Korzystając z twierdzenia o przekształceniu liniowym zadanym na bazie można udowodnić istnienie nieciągłego rozwiązania równania Cauchy'ego, tj. istnienie takiej funkcji $\scriptstyle f,$ która spełniałaby równość $\scriptstyle f(x + y) = f(x) + f(y)$ dla wszystkich liczb rzeczywistych $\scriptstyle x, y.$ Prosta rzeczywista jest ośrodkowa (ośrodkiem jest np. zbiór liczb wymiernych), skąd każda funkcja ciągła na $\mathbb R$ jest wyznaczona jednoznacznie przez swoje wartości na argumentach wymiernych. Oznacza to, że istnieje $\scriptstyle |\mathbb R|^{|\mathbb Q|} = \mathfrak c^{\aleph_0} = \left(2^{\aleph_0}\right)^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0 \cdot \aleph_0} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak c$ funkcji ciągłych na $\scriptstyle \mathbb R,$ przy czym symbol $\scriptstyle \mathfrak c$ oznacza liczbę kardynalną continuum. Z drugiej strony istnieje $\scriptstyle |\mathbb R|^{|B|} = \mathfrak c^\mathfrak c$ funkcji rzeczywistych, określonych na $B.$ Z twierdzenia Cantora wynika, że $\scriptstyle \mathfrak c^\mathfrak c \geqslant 2^\mathfrak c > \mathfrak c$ (słaba nierówność jest w istocie równością). Do przekształcenia liniowego (spełniającego równanie Cauchy'ego z definicji) można przedłużyć dowolną funkcję $\scriptstyle f\colon B \to \mathbb R.$ Ponieważ jest ich więcej niż wszystkich funkcji ciągłych, to istnieją nieciągłe rozwiązania równania Cauchy'ego.