Twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga

Twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga – odpowiednik twierdzenia Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a dla algebr Heytinga. Twierdzenie to mówi, że każda algebra Heytinga jest izomorficzna z pewną podalgebrą topologicznej algebry Heytinga swojej przestrzeni Stone'a.

Twierdzenie

Definicja $\boldsymbol{\Phi}$ oraz przestrzeni Stone'a dla algebry Heytinga $\mathcal{H}$

Niech $\mathcal{H}$ będzie algebrą Heytinga z uniwersum $H$. Algebry Heytinga są wzbogaceniem krat rozdzielnych, a więc na mocy twierdzenia o reprezentacji dla krat rozdzielnych odwzorowanie $\boldsymbol{\Phi}\colon H\to\wp\big(\mathcal{S}_\mathcal{H}\big)$ dane wzorem

$\boldsymbol{\Phi}(a):=\{F\in\mathcal{S}_\mathcal{H}:\,a\in F\}$

jest izomorfizmem krat.

W szczególności jest ono także izomorfizmem krat ograniczonych, ponieważ

$\boldsymbol{\Phi}(\bot)=\varnothing,\,\boldsymbol{\Phi}(\top)=\mathcal{S}_\mathcal{H}$.

Niech teraz $\mathcal{T}$ będzie najmniejszą topologią na $\mathcal{S}_\mathcal{H}$, w której wartościami odwzorowania $\boldsymbol{\Phi}$ są zbiory otwarte. Okazuje się, że $\boldsymbol{\Phi}(H)$ jest bazą tej przestrzeni.

Topologię tę nazywamy topologią Stone'a. Przestrzeń $\langle\mathcal{S}_\mathcal{H},\mathcal{T}\rangle$ nazywamy przestrzenią Stone'a algebry $\mathcal{H}$.

$\boldsymbol{\Phi}$ jest homomorfizmem algebr Heytinga $\mathcal{H}$ i algebry topologicznej $\mathcal{H}_\mathcal{T}$.

Należy jeszcze pokazać, że $\boldsymbol{\Phi}$ zachowuje działanie $\mathbf{C}^\mathcal{H}$, czyli że

$\boldsymbol{\Phi}(a\to b)=\boldsymbol{\Phi}(a)\Rightarrow\boldsymbol{\Phi}(b)$.

Skoro $\boldsymbol{\Phi}$ jest izomorfizmem krat, to

$\boldsymbol{\Phi}(a)\cap\boldsymbol{\Phi}(a\to b)=\boldsymbol{\Phi}\big(a\sqcap(a\to b)\big)\leqslant\boldsymbol{\Phi}(b)$, skąd $\boldsymbol{\Phi}(a\to b)\subseteq\boldsymbol{\Phi}(a)\Rightarrow\boldsymbol{\Phi}(b)$.

Dla dowodu inkluzji przeciwnej, niech $x\in\boldsymbol{\Phi}(a)\Rightarrow\boldsymbol{\Phi}(b)$. Wówczas, skoro $\boldsymbol{\Phi}\grave{}\,\grave{}|\mathcal{H}|$ jest bazą topologii Stone'a, istnieje $c\in|\mathcal{H}|$, dla którego

$x\in\boldsymbol{\Phi}(c)\subseteq\boldsymbol{\Phi}(a)\Rightarrow\boldsymbol{\Phi}(b)\subseteq\smallsetminus\boldsymbol{\Phi}(a)\cup\boldsymbol{\Phi}(b)$, skąd $\boldsymbol{\Phi}(c)\cap\boldsymbol{\Phi}(a)\subseteq\boldsymbol{\Phi}(b)$, czyli $\boldsymbol{\Phi}(c\sqcap a)\subseteq\boldsymbol{\Phi}(b)$.

Ponieważ $\boldsymbol{\Phi}$ jest izomorfizmem, znaczy to, że $c\sqcap a\leqslant b$, czyli, że $c\leqslant a\to b$, a stąd $x\in\boldsymbol{\Phi}(c)\subseteq\boldsymbol{\Phi}(a\to b)$, co było do pokazania.

Wymiar i topologia przestrzeni Stone'a

Załóżmy teraz, że $\mathcal{H}$ jest wzbogaceniem algebry Boole'a.

Wówczas:

1. Każdy filtr pierwszy jest ultrafiltrem.
2. Jeśli $a\not\in F$, to $\neg a\in F$, dla $F\in\mathcal{S}_\mathcal{H}$.

Stąd wynika, po pierwsze, że przestrzeń Stone'a jest zerowymiarowa, bo jej baza $\boldsymbol{\Phi}(H)$, składa się z elementów otwarto-domkniętych, co wynika stąd, że $\smallsetminus\boldsymbol{\Phi}(a)=\boldsymbol{\Phi}(\neg a)\,,\;a\in H$, .

Jeśli teraz $F,G\in\mathcal{S}_\mathcal{H}$ są różne, to istnieją $f\in F\setminus G$ i $g\in G\setminus F$. Wówczas też jednak $\neg f\in G$ i $\neg g\in F$, skąd $f\sqcap\neg g\in F$ i $g\sqcap\neg f\in G$. Oczywiście $F\in\boldsymbol{\Phi}(f\sqcap\neg g)$ oraz $G\in\boldsymbol{\Phi}(g\sqcap\neg f)$, zaś zbiory $\boldsymbol{\Phi}(f\sqcap\neg g)$ i $\boldsymbol{\Phi}(g\sqcap\neg f)$ są rozłączne. W ten sposób pokazaliśmy, że przestrzeń Stone'a jest przestrzenią topologiczną Hausdorffa.

Zwartość przestrzeni Stone'a

Załóżmy teraz, że $\quad(\star)\;\mathcal{S}_\mathcal{H}=\bigcup\nolimits_{j\in J}\boldsymbol{\Phi}(a_j)$ dla pewnej rodziny $\{a_j\colon j\in J\}$ elementów algebry $\mathcal{H}$. Niech dalej, dla $F\subseteq|\mathcal{H}|$, funkcja $\chi_F\colon|\mathcal{H}|\to\{0,1\}$ będzie funkcją charakterystyczną zbioru $F$. Wówczas

$F\in\mathcal{S}_\mathcal{H}\;\Leftrightarrow\;\chi_F\in\mathbf{hom}(\mathcal{H},\mathcal{B}_2)\;$,  gdzie $\mathcal{B}_2$ jest dwuelementową algebrą Boole'a, oraz

$F\in\boldsymbol{\Phi}(a)\;\Leftrightarrow\;a\in F\in\mathcal{S}_\mathcal{H}\;\Leftrightarrow\;(\chi_F(a)=1)\wedge(F\in\mathcal{S}_\mathcal{H})\;\Leftrightarrow\;\chi_F\in\mathbf{hom}(\mathcal{H},\mathcal{B}_2)\cap\pi_a^{-1}\,\grave{}\,\grave{}\{1\}\,,\;a\in|\mathcal{H}|$,

gdzie $\pi_a\colon{}^{|\mathcal{H}|}\{0,1\}\to\{0,1\}$ jest funkcją rzutu na $a$-tą ($a\in|\mathcal{H}|$) współrzędną potęgi ${}^{|\mathcal{H}|}\{0,1\}$ przestrzeni dyskretnej $\{0,1\}$. Tym samym, warunek $(\star)$ równoważny jest warunkowi $\mathbf{hom}(\mathcal{H},\mathcal{B}_2)= \bigcup\nolimits_{j\in J}\big[\mathbf{hom}(\mathcal{H},\mathcal{B}_2)\cap\pi_{a_j}^{-1}(\{1\}_\big]$. Ponieważ produkt ${}^{|\mathcal{H}|}\{0,1\}$ zwartych przestrzeni Hausdorffa, na mocy BPI, jest przestrzenią zwartą, a $\mathbf{hom}(\mathcal{H},\mathcal{B}_2)$ jest domknięty w ${}^{|\mathcal{H}|}\{0,1\}$, zaś zbiory $\mathbf{hom}(\mathcal{H},\mathcal{B}_2)\cap\pi_{a_j}^{-1}(\{1\})$ są otwarte w topologii indukowanej na $\mathbf{hom}(\mathcal{H},\mathcal{B}_2)$, istnieje skończone $J_0\subseteq J$, dla którego $\mathbf{hom}(\mathcal{H},\mathcal{B}_2)=\bigcup\nolimits_{j\in J_0}\big[\mathbf{hom}(\mathcal{H},\mathcal{B}_2)\cap\pi_a^{-1}\,(\{1\})\big]$, co oznacza, że $\mathcal{S}_\mathcal{H}=\bigcup\nolimits_{j\in J_0}\boldsymbol{\Phi}(a_j)$.

Pokazaliśmy zatem, że z dowolnego pokrycia bazowego przestrzeni Stone'a algebry Boole'a można wybrać podpokrycie skończone, a to oznacza, że jest ona zwarta.

Wniosek 

Każda algebra Boole'a jest izomorficzna z podalgebrą algebry zbiorów otwarto-domkniętych pewnej zerowymiarowej zwartej przestrzeni Hausdorffa.

Uwaga 

Zgodność odwzorowania Stone'a z działaniem dopełnienia kraty wynika ze związków: $\qquad\boldsymbol{\Phi}(\bot)=\emptyset\quad\mbox{i}\quad\boldsymbol{\Phi}(\top)=\mathcal{S}_\mathcal{H}$.