Twierdzenie o reprezentacji dla krat rozdzielnych

Odwzorowanie Stone'a

Niech $\mathcal K$ będzie kratą rozdzielną i niech $\mathcal{S}_\mathcal{K}=\{F\subseteq|\mathcal K|:\,F \mbox{ jest filtrem pierwszym}\;\}$ . Niech dalej

$\boldsymbol{\Phi}(a):=\{F\in\mathcal{S}_\mathcal{K}:\;a\in F\,\}\;,\quad a\in|\mathcal{K}|.$

Odwzorowanie $\boldsymbol{\Phi}\colon\mathcal{K}\to\wp\big(\mathcal{S}_\mathcal{K}\big)$ nazywamy odwzorowaniem Stone'a.

[edytuj] Dowód twierdzenia o reprezentacji

Pokażemy, że odwzorowanie Stone'a jest monomorfizmem kraty $\mathcal K$ w kratę mnogościową na zbiorze $\wp\big(\mathcal{S}_\mathcal{K}\big)$ .

Różnowartościowość

Niech $a\ne b,\,a,b\in|\mathcal{K}|$ . Bez straty ogólności możemy założyć, że $a\not\leqslant b$ , wówczas z twierdzenia o filtrze pierwszym, istnieje filtr pierwszy $F$ , dla którego $a\in F$ i $b\not\in F$ . Wówczas $F\in\boldsymbol{\Phi}(a)\setminus\boldsymbol{\Phi}(b)$ , czyli $\boldsymbol{\Phi}(a)\ne\boldsymbol{\Phi}(b)$ .

Zgodność z działaniami

Mamy:

$F\in\boldsymbol{\Phi}(a\sqcap b)\;\Leftrightarrow\;a\sqcap b\in F\;\Leftrightarrow\;a,b\in F\;\Leftrightarrow\; F\in\boldsymbol{\Phi}(a)\cap\boldsymbol{\Phi}(b)$ , skąd $\boldsymbol{\Phi}(a\sqcap b)=\boldsymbol{\Phi}(a)\cap\boldsymbol{\Phi}(b)$ .

Dalej:

$F\in\boldsymbol{\Phi}(a\sqcup b)\;\Leftrightarrow\;a\sqcup b\in F\;\Leftrightarrow\;a\in F\,\vee\,b\in F\;\Leftrightarrow\; F\in\boldsymbol{\Phi}(a)\cup\boldsymbol{\Phi}(b)$ , skąd $\boldsymbol{\Phi}(a\sqcup b)=\boldsymbol{\Phi}(a)\cup\boldsymbol{\Phi}(b)$ .

To kończy dowód.

[edytuj] Uwagi

Rodzina $\boldsymbol{\Phi}\grave{}\,\grave{}|\mathcal{H}|$ jest bazą pewnej przestrzeni topologicznej na $\mathcal{S}_\mathcal{K}$ . Przestrzeń tę nazywa się przestrzenią Strone'a. Jak widać, odwzorowanie Stone'a jako wartości przyjmuje zbiory otwarte w tej przestrzeni i dlatego twierdzenie o reprezentacji krat rozdzielnych można sformułować następująco: