Twierdzenie o wartości średniej (rachunek całkowy)

Twierdzenie o wartości średniej – każde z kilku poniższych twierdzeń wiążących wartość całki oznaczonej funkcji całkowalnej (w sensie Riemanna lub Lebesgue'a) na danym zbiorze z pewną wielkością, która w spełnia rolę „wartości średniej” funkcji, bądź należy do danego zbioru.

Wszystkie rozpatrywane funkcje są funkcjami rzeczywistymi określonymi na przedziale $[a,\ b]$.

Pierwsze twierdzenie

Jeżeli funkcja $f$ jest ograniczona: $m \leqslant f(x) \leqslant M$, i całkowalna, to istnieje taka liczba $m \leqslant \mu \leqslant M$, że:

$\int\limits_a^b f(x)\ dx = \mu(b-a)$.

W przypadku gdy funkcja $f$ jest ciągła, tezę twierdzenia można wzmocnić następująco:

istnieje punkt $c \in [a,\ b]$ taki, że

$\int\limits_a^b f(x)\ dx = f(c)(b-a)$.

Intuicyjnie jest jasne, że ze względu na całkę, właśnie $f(c)$ jest „średnią” wartością funkcji $f$ w przedziale $[a,\ b]$.

Uogólnienie

Ta wersja dotyczy dwu funkcji całkowalnych, jeżeli przyjmiemy w nim $g \equiv 1$, to otrzymamy powyższą wersję.

Jeżeli funkcje $f, g$ są całkowalne, $f$ jest ograniczona: $m \leqslant f(x) \leqslant M$, a $g$ zachowuje znak w tym przedziale, to

$\int\limits_a^b f(x)g(x)\ dx = \mu \int\limits_a^b~g(x)\ dx$.

Jak poprzednio, w sytuacji, gdy $f$ jest funkcją ciągłą, w tezie twierdzenia można postulować istnienie takiego punktu $c \in [a,\ b]$, że:

$\int\limits_a^b~f(x)g(x)\ dx = f(c)\int\limits_a^b~g(x)\ dx$.

Drugie twierdzenie

Twierdzenie to również dotyczy całki z iloczynu dwu funkcji.

Jeżeli funkcja $f$ jest monotonicznie malejąca i nieujemna, a $g$ całkowalna, to istnieje taki punkt $c \in [a,\ b]$, że:

$\int\limits_a^b~f(x)g(x)\ dx = f(a) \int\limits_a^c~g(x)\ dx + f(b) \int\limits_c^b~g(x)\ dx$.

Najmocniejsza wersja tego twierdzenia pochodzi od japońskiego matematyka Hiroshiego Okamury (1947) i ma następującą postać:

Jeżeli funkcja $f$ jest monotonicznie malejąca, a $g$ całkowalna, to istnieje taki punkt $c \in [a,\ b]$, że:

$\int\limits_a^b~f(x)g(x)\,dx = f(a_+) \int\limits_a^c~g(x)\ dx + f(b_-) \int\limits_c^b~g(x)\ dx$.

Przez $f(x_+)$ i $f(x_-)$ rozumiemy tu odpowiednie granice jednostronne funkcji $f$.

Bibliografia

• G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. II, PWN, Warszawa 1978.

Zobacz też

• twierdzenie Greena,
• twierdzenie Stokesa,
• twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa.