Twierdzenie o zwartości

Twierdzenie o zwartości to twierdzenie mówiące, że nieskończony zbiór zdań rachunku predykatów pierwszego rzędu jest spełnialny, jeśli tylko każdy jego podzbiór skończony jest spełnialny. Równoważnie, jeśli taki zbiór jest sprzeczny, to istnieje jego skończony podzbiór, który jest sprzeczny.

Dowody

Za pomocą twierdzenia o pełności

Załóżmy, że $A\,$ nie jest spełnialny. Wówczas na mocy twierdzenia o pełności, zbiór ten jest sprzeczny, a co za tym idzie istnieje dowód zdania fałszywego ze zbioru założeń $A\,$. Z definicji dowodu wynika, że zbiór $A_0\,$ elementów zbioru $A\,$, których użyto w tym dowodzie jest skończony. Oczywiście jest on podzbiorem zbioru $A\,$ i jednocześnie na mocy twierdzenia o zgodności jest on niespełnialny. Kończy to dowód twierdzenia.

Za pomocą twierdzenia Łosia

Każdy skończony podzbiór $i\subseteq A$ jest spełnialny, czyli ma model $M_i\,$. Niech $I\,$ będzie zbiorem wszystkich skończonych podbiorów zbioru $A\,$ i niech $F_j  := \{ i\in I: j\subseteq i \}$ dla dażdego $j\in I$. Wówczas $F_{j_1} \cap F_{j_2} = F_{j_1\cup j_2}$, czyli rodzina $(F_j:j\in I)$ ma własność skończonych przekrojów.

Wobec tego, na mocy twierdzenia o ultrafiltrze istnieje taki ultrafiltr $U\,$, że $F_j \in U\,$ dla każdego $j\in I\,$. Wtedy na mocy twierdzenia Łosia ultraprodukt $\prod M_i / U$ jest modelem zbioru $A\,$, bo dla każdego $\sigma\in A\,$ zbiór $\{i\in I: M_i \models \sigma \} \supseteq \{i\in I : \sigma\in i \} = F_{\{\sigma\}}\,$ jest elementem ultrafiltru $U\,$.

Zobacz też

• logika matematyczna
• teoria modeli