Twierdzenie przeciwstawne

Twierdzenie przeciwstawne (także: kontrapozycja lub transpozycja) – dla danego twierdzenia zdanie orzekające wynikanie zaprzeczenia założenia z zaprzeczenia tezy. Twierdzeniem przeciwstawnym do twierdzenia jeżeli A, to B jest zdanie jeżeli nieprawda, że B, to nieprawda, że A.

Przykładowo kontrapozycjami twierdzeń:

Jeżeli pada deszcz, to ludzie wyciągają parasole.

Jeżeli trawa jest zielona, to 2 + 2 = 5.

są odpowiednio:

Jeżeli ludzie nie wyciągają parasolów, to znaczy, że nie pada.

Jeżeli 2 + 2 ≠ 5, to trawa nie jest zielona.

Twierdzenie

Zdanie

$A \rightarrow B$

można poddać kolejno przekształceniom (przy czym negacja $\neg$ wiąże najsilniej, zob. prawa rachunku zdań):

$\neg A \or B$ (prawo eliminacji implikacji),

$\neg A \or \neg \neg B$ (prawo podwójnego zaprzeczenia),

$\neg \neg B \or \neg A$ (prawo przemienności alternatywy),

$\neg B \rightarrow \neg A$ (prawo eliminacji implikacji).

Oznacza to, iż

$(A \rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg B \rightarrow \neg A)$ (prawo transpozycji).

Słownie fakt ten wyraża się następująco:

twierdzenie przeciwstawne jest równoważne twierdzeniu wyjściowemu (oba są jednocześnie prawdziwe lub fałszywe).

Zobacz też

• twierdzenie proste
• twierdzenie odwrotne
• twierdzenie przeciwne