Twierdzenie van Aubela

Twierdzenia van Aubela – twierdzenia geometrii płaskiej przypisywane H. H. van Aubelowi. W literaturze geometrycznej określenie twierdzenie van Aubela używane jest w odniesieniu do przynajmniej dwóch różnych wyników.

Twierdzenie van Aubela dla czworokąta

Twierdzenie Aubela można stosować do wszystkich czworokątów, zarówno wypukłych jak i wklęsłych

Twierdzenie

Przypuśćmy, że jest dany czworokąt $ABCD$. Po zewnętrznej stronie każdego boku tego czworokąta zbudujmy kwadrat, otrzymując kwadraty $K_{AB}$, $K_{BC}$, $K_{CD}$ i $K_{DA}$ (takie, że odcinek $XY$ jest bokiem kwadratu $K_{XY}$). Wówczas punkty przecięcia przekątnych kwadratów zbudowanych na przeciwległych bokach wyjściowego czworokąta wyznaczają parę odcinków równych i prostopadłych. Inaczej mówiąc, jeśli $Z_{AB}$, $Z_{BC}$, $Z_{CD}$, $Z_{DA}$ są środkami kwadratów $K_{AB}$, $K_{BC}$, $K_{CD}$, $K_{DA}$ (odpowiednio), to odcinki $Z_{AB}Z_{CD}$ i $Z_{BC}Z_{DA}$ są prostopadłe i mają tę samą długość.

Twierdzenie van Aubela dla trójkąta

Twierdzenie

Niech będzie dany trójkąt $ABC$ i niech P będzie punktem przecięcia trzech prostych łaczących wierzchołki trójkąta z przeciwległymi bokami (lub ich przedłużeniami). Niech proste te będą wyznaczone przez odcinki $AA_{1}$, $BB_{1}$ i $CC_{1}$, gdzie $A_{1} \in \overline{BC}$, $B_{1} \in \overline{AC}$, $C_{1} \in \overline{AB}$. Wówczas

$\frac{AP}{PA_{1}}=\frac{AC_{1}}{C_{1}B}+\frac{AB_{1}}{B_{1}C}$.

Dowód

Niech $P_{\triangle XYZ}$ oznacza pole trójkąta $XYZ$. Trójkąty $ABC$ i $PBC$ mają wspólny bok, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi ich wysokości, a ten ostatni jest taki sam jak $\frac{AA_1}{PA_1}$. Zachodzi więc

$\frac{AA_1}{PA_1}=\frac{P_{\triangle ABC}}{P_{\triangle BCP}}$,

skąd wynika, że

$\frac{AP}{PA_{1}}=\frac{P_{\triangle APC}+P_{\triangle APB}}{P_{\triangle BCP}}$.

Rozważając trójkąty $ACC_1$ i $BCC_1$ zauważamy, że mają one tę samą wysokość (opuszczoną ze wspólnego wierzchołka C), a zatem stosunek ich pól jest taki sam jak stosunek długości ich podstaw:

$\frac{AC_1}{C_1B}=\frac{P_{\triangle ACC_1}}{P_{\triangle BCC_1}}$.

W podobny sposób otrzymujemy też

$\frac{AC_1}{C_1B}=\frac{P_{\triangle AC_1P}}{P_{\triangle BC_1P}}$.

Zatem

$\frac{AC_1}{C_1B}=\frac{P_{\triangle ACP}+P_{\triangle AC_1P}}{P_{\triangle BCP}+P_{\triangle BC_1P}}=\frac{P_{\triangle AC_1P}}{P_{\triangle BC_1P}}$

a z tych równości wynika, że

(i)   $\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{P_{\triangle ACP}}{P_{\triangle BCP}}$.

Analogicznie uzasadniamy równość

(ii)  $\frac{AB_1}{B_1C}=\frac{P_{\triangle APB}}{P_{\triangle BCP}}$.

Dodając stronami równości (i) oraz (ii) otrzymujemy

$\frac{AB_1}{B_1C}+\frac{AC_1}{C_1B}=\frac{P_{\triangle APC}+P_{\triangle APB}}{P_{\triangle BCP}}=\frac{AP}{PA_1}$,

co należało wykazać.

Zobacz też

• Twierdzenie Napoleona
• Twierdzenie Cevy
• Twierdzenie Menelaosa

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W.: van Aubel's Theorem (ang.). MathWorld - A Wolfram Web Resource.
• Warendorff, Jay: Van Aubel's Theorem for Triangles - a demonstration (ang.). MathWorld - A Wolfram Web Resource.
• Warendorff, Jay: Van Aubel's Theorem for Quadrilaterals - a demonstration (ang.). MathWorld - A Wolfram Web Resource.