Ułamek

Ułamek – wyrażenie postaci $\tfrac{a}{b}$, gdzie $a$, nazywane licznikiem, oraz $b$, nazywane mianownikiem, są dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi. Linię oddzielającą licznik od mianownika nazywa się kreską ułamkową.

Wartością ułamka jest wartość jego licznika podzielona przez wartość mianownika, dlatego ułamek jest ilorazem. Z tego też powodu o mianowniku ułamka zakłada się, że jest różny od zera. Iloraz $\tfrac{a}{0}$ jest bowiem nieokreślony.

Istnieją także ułamki niewłaściwe, w których licznik jest większy lub równy mianownikowi, np. $\tfrac{4}{2}$ lub $\tfrac{5}{5}$.

Liczby wymierne

Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są liczby całkowite, wówczas wartością ułamka jest liczba wymierna.

Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się właściwym, gdy jego wartość bezwzględna jest mniejsza od jedności, a niewłaściwym, gdy jest ona od niej większa lub równa. Ułamek o dodatnich liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci liczby mieszanej, tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez znaku dodawania, np. $1 + \tfrac{2}{3}$ staje się $1\tfrac{2}{3}$

Działania na ułamkach

Dla każdego $c \ne 0\;$ ułamek $\tfrac{a}{b}$ jest równy $\tfrac{ac}{bc}$. Operację zamiany $\tfrac{a}{b}$ na $\tfrac{ac}{bc}$ nazywamy rozszerzeniem ułamka, odwrotną zaś nazywa się skróceniem ułamka.

Mnożenie i dzielenie wykonuje się wg wzorów:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$, na przykład: $\frac{2}{9} \cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{45}$

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}$.

Przedstawienie liczby $k\;$ w postaci ułamka $\tfrac{k}{1}$ prowadzi do wzorów:

$\frac{a}{b} \cdot k = \frac{ak}{b}$,

$\frac{a}{b} : k = \frac{a}{bk}$.

Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać z następujących wzorów:

$\frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{a + b}{m},\quad\quad \frac{a}{m} - \frac{b}{m} = \frac{a - b}{m}$.

Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio sprowadzić je do wspólnego mianownika, co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się. Prawdziwe są wzory:

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd},\quad\quad \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$.

Liczba $bd\;$ może zawsze pełnić rolę wspólnego mianownika, jednak często warto jest poszukać mniejszych wartości, najmniejszą możliwą jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $b\;$ i $d\;$.

Wyrażenia wymierne

Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka są wielomianami, to nazywa się go wyrażeniem wymiernym; reprezentuje ono wówczas w naturalny sposób funkcję wymierną. Jeżeli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to można wykonać dzielenie wielomianowe i otrzymać, podobnie jak w przypadku dzielenia liczb, wynik jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej.

Ciało ułamków

Dla każdego pierścienia całkowitego $P\;$ (zatem i struktur takich jak pierścień liczb całkowitych czy pierścień wielomianów o współczynnikach całkowitych) można zdefiniować ciało nazywane ciałem ułamków. Definiuje się je jako zbiór klas abstrakcji relacji równoważności $\sim$ określonej w iloczynie kartezjańskim $P \times P^*$ w następujący sposób:

$[a, b] \sim [c, d] \iff ad = bc$.

W zbiorze tym wprowadza się również działania dodawania i mnożenia:

$[a, b] + [c,d] = [ad + bc, bd]\;$,

$[a,b] \cdot [c,d] = [ac, bd]$.

Jak wspomniano wcześniej, ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych jest izomorficzne z ciałem liczb wymiernych.

Istotność założenia całkowitości pierścienia

Jeżeli pierścień przemienny ma dzielniki zera, to nie można skonstruować na nim ciała ułamków: jeśli $xy = 0$ dla niezerowych $x, y\in P$, to

$[1, 1] \sim [x, x] = [x, 1] \cdot [1, x] \sim [xy, y] \cdot [1, x] = [0, y] \cdot [1, x] \sim [0, 1] \cdot [1,x] = [0, x] \sim [0,1]$,

czyli

$[1, 1] \sim [0,1]\;$,

stąd zaś dla dowolnego

$[a, b] = [a, b] \cdot [1, 1] \sim [a, b] \cdot [0, 1] = [0, b] \sim [0, 1]$,

więc jest tylko jedna klasa abstrakcji – klasa $[0, 1]$, a z definicji ciało ma przynajmniej dwa różne elementy.

Dla pierścieni nieprzemiennych tworzenie ułamków bardzo się komplikuje.

Typografia

Licznik i mianownik zwykle oddziela się linią; jeżeli jest ona pochyła, to nazywa się ją ukośnikiem, np. ³⁄₄; jeśli linia ta jest pozioma, to nazywa się ją kreską ułamkową, np. $\tfrac{3}{4}$.

W Unicode niektóre ułamki kodowane są za pomocą jednego znaku. Są to:

• ¼ (jedna czwarta),
• ½ (jedna druga),
• ¾ (trzy czwarte),
• ⅓ (jedna trzecia),
• ⅔ (dwie trzecie),
• ⅛ (jedna ósma),
• ⅜ (trzy ósme),
• ⅝ (pięć ósmych),
• ⅞ (siedem ósmych).

Zobacz też

• proporcja
• ułamek dziesiętny