Ułamek dziesiętny nieskończony

Ułamek dziesiętny nieskończony – zapis liczby rzeczywistej a przy pomocy szeregu liczbowego w postaci:

$a=\pm\left(a_0+\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\frac{a_3}{10^3}+\dots\right)$

gdzie a₀, a₁, a₂, ... są liczbami naturalnymi, przy czym 0 ≤ a₁, a₂, ... ≤ 9.

Znak przed nawiasem jest taki sam, jak znak liczby a.

Zapis liczby a w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego nazywamy rozwinięciem dziesiętnym liczby a i przedstawiamy go jako:

a₀ , a₁a₂a₃...

Przykłady

$2\frac{1}{7}=2{,}142857142857142857142\dots$

$1=1{,}0000\dots=0{,}99999\dots$ (zobacz na temat liczby 0,99999...)

$-\frac{3}{8}=-0{,}3750000\dots=-0{,}3749999\dots$

$\sqrt{7}=2{,}645751311\dots$

$\pi=3{,}141592653589793238462\dots$

$1\frac{41}{99}=1{,}414141\dots$

Własności

Każdy ułamek dziesiętny nieskończony przedstawia liczbę rzeczywistą i odwrotnie, każdą liczbę rzeczywistą można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego.

Rozwinięcie liczby rzeczywistej w ułamek dziesiętny nieskończony jest jednoznaczne, z wyjątkiem sytuacji opisanych poniżej.

Jeżeli w rozwinięciu dziesiętnym liczby x≠0, poczynając od pewnego miejsca, występuje tylko cyfra 0, to zmniejszając ostatnią niezerową cyfrę rozwinięcia o 1 i zastępując wszystkie następne cyfry 0 cyframi 9, otrzymamy inne przedstawienie liczby x w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego.

Podobnie, jeżeli w rozwinięciu dziesiętnym liczby x, poczynając od pewnego miejsca, występuje wyłącznie cyfra 9, to zwiększając o 1 ostatnią cyfrę rozwinięcia różną od 9 i zastępując wszystkie następne cyfry 9 cyframi 0, otrzymamy inne przestawienie liczby x w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego.

Algorytm rozwijania liczby w ułamek dziesiętny

Poniższy algorytm pozwala wyznaczyć liczby a₀,a₁, a₂, ... dla danej liczby rzeczywistej x. |z| oznacza wartość bezwzględną, a [z] część całkowitą liczby z.

1. b₀ = |x|, a₀ = [b₀]
2. b_i = 10·(b_i-1 - a_i-1), a_i = [b_i] dla i ≤ 1

Dla liczby π mamy:

1. b₀ = π, a₀ = 3
2. b₁ = 1,41592653589793238462..., a₁ = 1,
3. b₂ = 4,1592653589793238462..., a₂ = 4,

itd.

Ułamek dziesiętny skończony

Jeżeli w nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym liczby x od pewnego miejsca występuje wyłącznie cyfra 0 (patrz: uwaga wyżej), to na ogół zera te się opuszcza otrzymując rozwinięcie dziesiętne skończone, a ułamek taki nazywamy ułamkiem dziesiętnym skończonym.

Jest to możliwe jedynie wtedy, gdy x jest liczbą wymierną x = p/q, przy czym q = 2^k·5^l, gdzie k i l są liczbami naturalnymi.

Na przykład: 17,29450000... = 17,2945 = 34589/2000 = 34589/(2⁴ · 5³)

Ułamek dziesiętny okresowy

Jeżeli poczynając od pewnego miejsca, ciąg kolejnych cyfr ułamka dziesiętnego nieskończonego jest okresowy, to ułamek nazywa się ułamkiem dziesiętnym nieskończonym okresowym. Obrazowo – ułamek okresowy to taki ułamek, w którym od pewnego miejsca pewien blok cyfr powtarza się kolejno "w nieskończoność". Na przykład:

13,54545454... – od pierwszego miejsca po przecinku powtarza się blok "54";

2,907645645645... – od czwartego miejsca po przecinku powtarza się blok "645";

Zachodzi ważne twierdzenie:

Każdy ułamek nieskończony okresowy przedstawia liczbę wymierną. Na odwrót, każda liczba wymierna ma albo przedstawienie dziesiętne skończone, albo nieskończone okresowe.

Zatem każdy ułamek, który nie jest okresowy, przedstawia liczbę niewymierną. Na przykład, liczba 0,1234567891011121314... (wypisujemy kolejno cyfry kolejnych liczb naturalnych zapisanych dziesiętnie) jest liczbą niewymierną.

Algorytm zamiany ułamka okresowego na zwykły

Dana jest liczba u = 23,61709709709... Oto jak można wyznaczyć odpowiadający jej ułamek zwykły:

1. oblicz 100u = 2361,709709... – przesuń przecinek do początku okresu
2. oblicz 100000u = 2361709,709709... – przesuń przecinek do początku okresu w innym miejscu
3. oblicz 100000u - 100u = 2361709,709709... - 2361,709709... = 2359348 = 99900u – części po przecinku zredukują się wzajemnie
4. wylicz u = 2359348/99900

Kolejny przykład: u = 0,031313131...

1. oblicz 10u = 0,313131... – przesuń przecinek do początku okresu
2. oblicz 1000u = 31,313131... – przesuń przecinek do początku okresu w innym miejscu
3. oblicz 1000u - 10u = 31,313131... - 0,313131... = 31 = 990u – części po przecinku zredukują się wzajemnie
4. wylicz u = 31/990

Zobacz też

• ułamek łańcuchowy