Ułamki proste

Ułamki proste - składniki pewnej sumy, w postaci której przedstawia się dowolną funkcję wymierną, w której stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika. Każdy ułamek prosty jest ułamkiem o następujących własnościach:

• mianownik jest potęgą pewnego wielomianu nierozkładalnego,
• licznik jest wielomianem stopnia mniejszego od stopnia nierozkładalnego wielomianu występującego w mianowniku (niepodniesionego do żadnej potęgi większej od 1).

Każdą funkcję wymierną można przedstawić jako sumę pewnego wielomianu i pewnej funkcji wymiernej, w której stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku. Przedstawienie tej ostatniej funkcji wymiernej w postaci sumy ułamków prostych nazywa się rozkładem funkcji na ułamki proste.

To, jakie wielomiany są nierozkładalne, zależy od ciała, nad którym je rozważamy. Przykładowo, w ciele liczb rzeczywistych istnieją wielomiany nierozkładalne stopnia 1 i 2, w ciele liczb zespolonych jedynie stopnia 1, zaś w ciele liczb wymiernych istnieją wielomiany nierozkładalne dowolnie wysokich stopni.

Rozkład na ułamki proste ułatwia obliczanie całek, a także rozwiązywanie równań różniczkowych.

Możliwe postaci ułamka prostego

W ciele ułamków nad pierścieniem wielomianów o współczynnikach rzeczywistych

1. ${b \over (x-a)^n} ~~ ~~ n\geqslant 1$
2. ${ex+f \over (ax^2+bx+c)^n} ~~ ~~ n\geqslant 1,~~ b^2-4ac < 0$

W ciele ułamków nad pierścieniem wielomianów o współczynnikach zespolonych

1. ${b \over (x-a)^n} ~~~~ n\geqslant 1$

Przykłady rozkładu

• ${f(x) \over (x-a)^3} = {A \over (x-a)} + {B \over (x-a)^2} + {C \over (x-a)^3}$, tutaj $st(f)<3\;$
• $\frac{f(s)}{(s+3)(s+1)^4}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{(s+1)^2}+\frac{C}{(s+1)^3}+\frac{D}{(s+1)^4}+\frac{E}{(s+3)}$, tutaj $st(f)<5\;$

• $\frac{1}{(s^2+1)(s+1)^2}=\frac{As+B}{s^2+1}+\frac{C}{(s+1)^2}+\frac{D}{s+1}$

Aby znaleźć współczynniki $A,B,C,D,...$ stosuje się metodę współczynników nieoznaczonych. W tym celu wystarczy prawą stronę sprowadzić do wspólnego mianownika i wielomian w jej liczniku uporządkować wg zmiennej. Np. w ostatnim przykładzie powstanie wielomian $(A+D)s^3+(2A+B+C+D)s^2+(A+2B+D)s+(B+C+D)$. Przyrównując współczynniki przy kolejnych potęgach zmiennej $s$ do odpowiednich współczynników wielomianu z lewej strony (tu jest wielomian stały) otrzymuje się układ równań, po rozwiązaniu którego otrzymuje się wartości współczynników $A,B,C,D$.