Uzwarcenie

Uzwarcenie (kompaktyfikacja, przedłużenie zwarte) — w topologii rozszerzenie danej przestrzeni topologicznej tak, by była ona przestrzenią zwartą.

Definicja

Uzwarceniem przestrzeni $(X, \tau)$ nazywamy parę $(Y, e)$ taką, że $Y$ jest zwartą przestrzenią topologiczną, zaś $e\colon X \to Y$ jest zanurzeniem homeomorficznym oraz $e(X)$ jest gęstym podzbiorem $Y$. Jeśli dodatkowo $Y \in T_2$, czyli $Y$ jest przestrzenią Hausdorffa, to uzwarcenie $(Y, e)$ nazywa się uzwarceniem Hausdorffa $(T_2)$.

Zwykle pomija się zanurzenie $e$, szczególnie jeśli jest ono identycznością i w sytuacji jak powyżej mówi się, że przestrzeń $Y$ jest uzwarceniem przestrzeni $X$. Często też utożsamiamy punkty $x\in X$ z ich obrazami $e(x) \in Y$ i traktujemy $X$ jako podprzestrzeń przestrzeni $Y$.

Warto zauważyć, że jedynym uzwarceniem zwartej przestrzeni Hausdorffa jest ona sama.

Uzwarcenie jednopunktowe

Niech $(X,\tau_X)$ będzie niezwartą przestrzenią topologiczną i niech $\infty$ będzie pewnym obiektem nie należącym do zbioru $X$. Połóżmy $Y=X\cup\{\infty\}$ i

$\tau_Y=\tau_X\cup\big\{U\cup\{\infty\}:U\in \tau_X$ i $X\setminus U$ jest zwartym podzbiorem $X\big\}.$

Wówczas $(Y,\tau_Y)$ jest zwartą przestrzenią topologiczną. Ponadto zanurzenie identycznościowe ${\rm id}_X:X\longrightarrow X\subseteq Y$ jest zanurzeniem homeomorficznym i $X$ jest gęstym podzbiorem. Tak więc $(Y,{\rm id}_X)$ jest uzwarceniem przestrzeni $X$. Uzwarcenie to nazywamy uzwarceniem jednopunktowym lub uzwarceniem Aleksandrowa.

Z powyższych rozważań wynika, że każda przestrzeń topologiczna ma uzwarcenie. Niestety, to uzwarcenie nie musi spełniać aksjomatu T₂. Łatwo można sprawdzić, że uzwarcenie Aleksandrowa przestrzeni topologicznej $X$ jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa.

Warto zauważyć, że jeśli wyjściowa przestrzeń $X$ jest zwarta, to powyższa procedura nie daje uzwarcenia $X$, jako że wtedy $X$ nie będzie gęstym podzbiorem $Y$. Uzwarcenia jednopunktowe były wprowadzone do literatury matematycznej przez Aleksandrowa i Urysohna w 1929.

Uzwarcenia Hausdorffa

Każda zwarta przestrzeń T₂ jest przestrzenią normalną, a więc także przestrzenią całkowicie regularną. Ponieważ "bycie przestrzenią Tichonowa" jest własnością dziedziczną, jeśli przestrzeń topologiczna $X$ ma uzwarcenie Hausdorffa, to sama przestrzeń $X$ musi być całkowicie regularna. Z drugiej strony, Tichonow udowodnił, że każda przestrzeń $T_{3\frac{1}{2}}$ może być zanurzona w produkt $[0,1]^I$ pewnej ilości kopii domkniętych odcinków. Ponieważ, na podstawie innego twierdzenia Tichonowa, przestrzeń $[0,1]^I$ jest zwarta (a domknięte podzbiory przestrzeni zwartej są zwarte), to można teraz łatwo znaleźć uzwarcenie Hausdorffa wyjściowej przestrzeni.

Tak więc, przestrzeń topologiczna $X$ ma uzwarcenie Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią całkowicie regularną.

Uzwarcenia Čecha-Stone'a

Wśród uzwarceń Hausdorffa danej przestrzeni całkowicie regularnej $X$, jedno uzwarcenie ma uniwersalny charakter – jest to uzwarcenie Čecha-Stone'a $\beta X$. Uzwarcenie to było wprowadzone i badane niezależnie przez czeskiego matematyka Eduarda Čecha i amerykańskiego matematyka Marshalla H. Stone'a w latach 30. XX wieku. Może być ono scharakteryzowane przez każde z następujących dwóch twierdzeń:

• Twierdzenie Stone'a: Każda całkowicie regularna przestrzeń $X$ ma uzwarcenie Hausdorffa $\beta X$ takie, że każde odwzorowanie ciągłe przestrzeni $X$ w zwartą przestrzeń T₂ może być przedłużone na $\beta X$.
• Twierdzenie Čecha: Każda całkowicie regularna przestrzeń $X$ ma uzwarcenie Hausdorffa $\beta X$ takie, że każde dwa podzbiory $X$ oddzielalne przez funkcję ciągła mają rozłączne domknięcia.

Należy zauważyć, że uzwarcenie $\beta X$ jest jedyne (z dokładnością do homeomorfizmu identycznościowego na $X$). Ponadto, każde uzwarcenie całkowicie regularnej przestrzeni $X$ jest ciągłym obrazem przestrzeni $\beta X$ przez odwzorowanie które jest identycznością na $X$.

Zobacz też

• przestrzeń topologiczna
• przestrzeń zwarta
• przestrzeń zupełna w sensie Čecha
• aksjomaty oddzielania