Własność Banacha-Saksa

Własność Banacha-Saksa – własność niektórych przestrzeni unormowanych polegająca na tym, że każdy ograniczony ciąg punktów w przestrzeni unormowanej ma podciąg zbieżny według średniej (inne nazwy: sumowalny w sensie Cesàro, limesowalny), tzn. jeżeli dla każdego ograniczonego ciągu (x_n)_n jej punktów istnieje podciąg (x_nk)_k o tej własności, że ciąg

$\left(\frac{x_{n_1}+\ldots+x_{n_k}}{k}\right)_{k=1}^\infty$

jest zbieżny (w sensie normy). Ciągi mające powyższą własność nazywane są ciągami Banacha-Saksa.

Nazwa pojęcia pochodzi o nazwisk polskich matematyków, Stefana Banacha i Stanisława Saksa, którzy rozszerzyli twierdzenie Mazura mówiące, że słaba granica ciągu punktów przestrzeni Banacha jest granicą w sensie normy kombinacji wypukłych wyrazów tego ciągu, o możliwość znalezienia w przestrzeni L_p(0,1), 1 < p <∞ takiego ciągu kombinacji wypukłych wyrazów wyjściowego ciągu, który jest dodatkowo sumowalny w sensie Cesàro. Wynik ten został jeszcze dalej rozszerzany przez Shizuo Kakutaniego na przestrzenie jednostajnie wypukłe. Wiesław Szlenk wprowadził pojęcie słabej własności Banacha-Saksa, zastępując pojęcie ciągu ograniczonego w definicji własności Banacha-Saksa ciągiem słabo zbieżnym do zera oraz udowodnił, że przestrzeń L₁(0,1) ma tę własność. Definicja obydwu tych własności Banacha-Saksa przenosi się analogicznie na podzbiory przestrzeni unormowanych.

Twierdzenia i przykłady

• Każda przestrzeń mająca własność Banacha-Saksa jest refleksywna. Istnieją jednak przestrzenie refleksywne, które nie mają tej własności – pierwszy przykład takiej przestrzeni został podany przez Alberta Baernsteina.
• Julian Schreier podał, jako pierwszy, przykład przestrzeni (tzw. przestrzeń Schreiera), która nie ma słabej własności Banacha-Saksa. Udowodnił także, że przestrzeń funkcji ciągłych na liczbie porządkowej ω^ω+1 również nie ma tej własności.
• Podciąg ciągu Banacha-Saksa nie musi być ciągiem Banacha-Saksa.
• ℓ_p-sumy przestrzeni o własności Banacha-Saksa nadal mają tę własność.
• Istnieje przestrzeń E o własności Banacha-Saksa dla której przestrzeń L₂(E) (funkcji całkowalnych z kwadratem w sensie Bochnera o wartościach w E) nie ma tej własności.
• Każdy ograniczony ciąg punktów przestrzeni Banacha zawiera podciąg o tej własności, że każdy podciąg tego ciągu jest ciągiem Banacha-Saksa bądź żaden nie jest ciągiem Banacha-Saksa.
• Obraz ściśle addytywnej miary wektorowej ma własność Banacha-Saksa.
• Jeżeli E jest taką przestrzenią Banacha, że jej przestrzeń sprzężona E* jest jednostajnie wypukła, to E ma własność Banacha-Saksa.
• Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Schlumprechta ma własność Banacha-Saksa.

Operatory Banacha-Saksa

Operator ograniczony T między przestrzeniami Banacha X i Y nazywany jest operatorem Banacha-Saksa, jeżeli każdy ograniczony ciąg (x_n)_n punktów przestrzeni X ma taki podciąg (x_nk)_k, że ciąg

$\left(\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k Tx_{n_i}\right)_{k=1}^\infty$

jest zbieżny w przestrzeni Y. Analogicznie definiuje się pojęcie słabego operatora Banacha-Saksa, zastępując warunek ograniczoności ciągu warunkiem słabej zbieżności do zera.

Klasa operatorów Banacha-Saksa $\mathcal{BS}$ tworzy niesymetryczny, domknięty ideał operatorowy. W szczególności rodzina operatorów Banacha-Saksa $\mathcal{BS}(E)$ na przestrzeni Banacha E tworzy domknięty ideał algebry $\mathcal{B}(E)$ operatorów ograniczonych na $E$ (analogicznie, rodzina $\mathcal{WBS}(E)$, słabych operatorów Banacha-Saksa na E również tworzy domknięty ideał).

Ideał słabych operatorów Banacha-Saksa na C(ω^ω+1)

Ideał $\mathcal{WBS}(C(\omega^\omega+1))$ jest ideałem maksymalnym w algebrze $\mathcal{B}(C(\omega^\omega+1))$. Jeżeli

$T\in \mathcal{B}(C(\omega^\omega+1))\setminus \mathcal{WBS}(C(\omega^\omega+1))$,

to istnieje taka podprzestrzeń liniowa $Y$ przestrzeni C(ω^ω+1), która jest z nią izomorficzna oraz T zawężony do Y jest izomorfizmem. Operator ograniczony, określony na przestrzeni typu C(K), gdzie K jest zwartą przestrzenią Hausdorffa i o wartościach w dowolnej przestrzeni Banacha X jest słabym operatorem Banacha-Saksa wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje podprzestrzeń przestrzeni C(K), izomorficzna z C(ω^ω+1), na której T działałby jako izomorfizm. Fakt ten pociąga za sobą, że jeżeli X=T(Y), to istnieje taka podprzestrzeń Z obrazu T(Y), która jest komplementarna w C(ω^ω+1) oraz izomorficzna z C(ω^ω+1). Niech W=T^-1(Z),

$P\colon C(\omega^\omega+1)\to Z$

będzie rzutowaniem na Z,

$S\colon C(\omega^\omega+1)\to Z$

będzie izomorfizmem oraz

$J\colon T\to C(\omega^\omega+1)$

będzie operatorem inkluzji. Następujący diagram jest przemienny:

a zatem operator $T$ faktoryzuje się poprzez identyczność przestrzeni C(ω^ω+1) (tzn. operator tożsamościowy należy do ideału generowanego przez T), co implikuje, że ideał $\mathcal{WBS}(C(\omega^\omega+1))$ jest jedynym ideałem maksymalnym w $\mathcal{B}(C(\omega^\omega+1))$.

Własność p-BS i indeks Banacha-Saksa

Jeżeli p ≥ 1 jest ustaloną liczbą rzeczywistą, to o ciągu ograniczonym (x_n)_n elementów przestrzeni Banacha X mówi się, że jest p-BS-ciągiem, gdy zawiera taki podciąg (x_nk)_k, że

$\sup_{m\in \mathbb{N}}\frac{1}{m^{\frac{1}{p}}}\Bigg\|\sum_{i=1}^m x_{n_i}\Bigg\|<\infty.$

O przestrzeni Banacha mówi się, że ma własność p-BS jeżeli każdy ciąg jej elementów zbieżny słabo do 0 zawiera podciąg będący p-BS-ciągiem. Pojęcie własności p-BS nie uogólnia pojęcia własności Banacha-Saksa. W szczególności, każda przestrzeń Banacha ma własność 1-BS. Zbiór

$\Gamma(X)=\{p\geq 1\colon\, X\mbox{ ma własność }p-\operatorname{BS}\}$

jest postaci [0, γ₀) bądź [0, γ₀], gdzie γ₀ jest pewną liczbą niemniejszą od 1. Jeżeli Γ(X) = [0, γ₀], to indeks Banacha-Saksa γ(X) przestrzeni X definiuje się jako γ(X) = γ₀ natomiast, gdy Γ(X) = [0, γ₀), to γ₀ = 0. Przykładem przestrzeni mającej własność 2-BS jest L₂(0,1).

Bibliografia

1. Joram Lindenstrauss: Handbook of the Geometry of Banach Spaces. T. 1. North Holland, 2001, s. 444. ISBN 0444828427. 
2. Albert Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Wyd. pierwsze. Boston: Birkhäuser, 2007, s. 523-535. ISBN 0-8176-4367-2.