Własność Darboux

Własność Darboux jest jedną z najważniejszych własności funkcji ciągłych.

Funkcja $f\colon\mathbb R \to \mathbb R$ ma własność Darboux jeśli obraz każdego przedziału jest znowu przedziałem. W szczególności:

Jeżeli $a<b$, $f(a)\cdot f(b) < 0$, obraz funkcji $f$ obejmuje cały przedział $[f(a),f(b)]$ (albo $[f(b), f(a)]$), więc istnieje taka wartość $c$ należąca do przedziału otwartego $(a,b)$, że $f(c)=0$.

Mówimy że funkcja $f\colon X\to Y$ między przestrzeniami topologicznymi ma własność Darboux, jeżeli obraz każdego podzbioru spójnego przestrzeni $X$ jest podzbiorem spójnym przestrzeni $Y$. (Jest to uogólnienie powyższego pojęcia, gdyż podzbiór $A \subseteq \mathbb R$ jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy $A$ jest przedziałem.)

• Twierdzenie Darboux (opublikowane przez Gastona Darboux) mówi, że każda funkcja ciągła ma własność Darboux.

• Nie każda funkcja o własności Darboux jest ciągła. Na przykład, funkcja

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin\frac{1}{x},& x>0\\0,& x\le 0\end{array}\right.$

ma własność Darboux, ale nie jest ciągła w punkcie 0.

• Suma dwóch funkcji o własności Darboux nie musi mieć własności Darboux. Za pomocą indukcji pozaskończonej można znaleźć taką funkcję $f\colon\mathbb R\to \mathbb R$ o własności Darboux, że nawet funkcja $g(x):= f(x) + x$ nie ma własności Darboux.
• Jeśli funkcja jest różniczkowalna w pewnym zbiorze, to jej pochodna także ma własność Darboux w tym zbiorze.