Twierdzenie Radona-Nikodýma

Twierdzenie Radona-Nikodýma - twierdzenie teorii miary mówiące o reprezentacji pewnych σ-addytywnych funkcjonałów na przestrzeniach mierzalnych, czyli miar. Twierdzenie sformułowane przez Johanna Radona zostało uogólnione przez Ottona M. Nikodýma w 1930 roku.

David Fremlin opisuje to twierdzenie oraz środki techniczne potrzebne do jego dowodu jako znajdujące się wśród sześciu najważniejszych wyników teorii miary.

Oznaczenia i podstawowe definicje

W niniejszym artykule $\Omega$ jest dowolnym zbiorem, natomiast $\mathcal{A}$ jest σ-ciałem jego podzbiorów. Na σ-ciele $\mathcal{A}$ ustalone są z kolei pewne funkcje $\mu, \nu\colon \mathcal{A}\longrightarrow \mathbb{R}$.

• Funkcja $\nu$ nazywana jest jest σ-addytywną, jeśli dla każdego ciągu parami rozłącznych zbiorów $A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{A}$ spełniony jest warunek

$\nu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) = \sum_{n=1}^\infty \nu(A_n)$.

• Jeśli $\mu$ jest miarą oraz $\nu$ jest σ-addytywną funkcją zbiorów, to mówi się, że $\nu$ jest bezwzględnie (absolutnie) ciągła względem $\mu$ (ozn, $\nu \ll \mu$), gdy dla każdego $A\in \mathcal{A}$ spełniony jest warunek

$\mu(A)=0 \Rightarrow \nu(A)=0$.

Twierdzenie Radona-Nikodýma

Niech $\nu$ będzie σ-addytywną funkcją zbiorów oraz $\mu$ będzie miarą σ-skończoną. Jeśli $\nu$ jest absolutnie ciągła względem $\mu$, to istnieje taka nieujemna funkcja $h\in L^1(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ (zob. przestrzeń L^p), że dla $A\in\mathcal{A}$

Ilustracja konieczności założenia absolutnej ciągłości miar - nośniki miar są oznaczone jako S_μ i S_ν. Miary mają wartość 0 na zbiorach poza swoimi nośnikami. Całka po zbiorze A względem miary μ jest równa 0, bo leży on poza jej nośnikiem; z kolei ν(A)>0, więc twierdzenie nie może być spełnione. Konieczne jest więc założenie S_ν ⊆ S_μ, czyli po prostu $\color{blue}\nu \ll \mu.$

$\nu(A)=\int\limits_A h d\mu$.

Funkcja $h$ wyznaczona $\mu$-prawie wszędzie, nazywana jest pochodną Radona-Nikodýma funkcji $\nu$ względem $\mu$ i oznaczana jest symbolem

$h=\tfrac{d\nu}{d\mu}$.

Własności

Jeżeli $\lambda\colon \mathcal{A}\to\mathbb{R}$ jest σ-addytywną funkcją zbiorów bezwzględnie ciągłą względem $\mu$ oraz $\lambda \leqslant \nu$, to

• $\tfrac{d\lambda}{d\mu}\leqslant \tfrac{d\nu}{d\mu}$,
• $\tfrac{d(a \lambda + b \nu)}{d\mu}=a\tfrac{d\lambda}{d\mu}+b\tfrac{d\nu}{d\mu}$

o ile $a\lambda, b\nu>-\infty$ stale lub $a\lambda, b\nu<+\infty$ stale dla liczb rzeczywistych $a,b$.

Twierdzenie o zamianie miary

Pod założeniami twierdzenia Radona-Nikodýma, jeżeli $A\in\mathcal{A}$ oraz $f\in L^1(A, \mathcal{A}|_A, \nu)$, to $f\tfrac{d\nu}{d\mu}\in L^1(A, \mathcal{A}|_A, \mu)$ oraz

$\int\limits_Af d\nu=\int\limits_A f \tfrac{d\nu}{d\mu}d\mu$.

Własność Radona-Nikodýma

Mówimy, że przestrzeń Banacha $X$ ma własność Radona-Nikodýma względem przestrzeni z miarą $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$, gdy dla każdej miary wektorowej $\nu$ o ograniczonym wahaniu, bezwzględnie ciągłym względem $\mu$ istnieje funkcja $g\colon \Omega \to X$ całkowalna w sensie Bochnera taka, że

$\nu(A)=\int\limits_Ag(x)\mu(dx)$

dla każdego $A\in \mathcal{A}$. Mówimy, że przestrzeń Banacha ma własność Radona-Nikodýma, gdy ma własność Radona-Nikodýma względem każdej przestrzeni z miarą skończoną.

Przykłady

Wszystkie wymienione niżej klasy przestrzeni Banacha mają własność Radona-Nikodýma:

• przestrzenie refleksywne,
• przestrzenie ośrodkowe będące przestrzeniami sprzężonymi pewnych przestrzeni,
• przestrzenie słabo zwarto generowane będące przestrzeniami sprzężonymi pewnych przestrzeni,
• przestrzenie sprzężone podprzestrzeni przestrzeni słabo zwarto generowanych,
• przestrzenie lokalnie jednostajnie wypukłe będące przestrzeniami sprzężonymi pewnych przestrzeni,
• przestrzenie słabo lokalnie jednostajnie wypukłe będące przestrzeniami sprzężonymi pewnych przestrzeni,
• przestrzenie sprzężone przestrzeni, w których norma jest funkcją różniczkowalną w sensie Frécheta,
• przestrzeń $\ell^1(\Gamma)$, gdzie $\Gamma$ jest dowolnym zbiorem
• przestrzenie Hardy'ego
• przestrzeń szeregów bezwarunkowo zbieżnych w $X$ dla przestrzeni $X$ mających własność Radona-Nikodýma
• przestrzeń $\mathcal{B}(\ell^p, \ell^q)$, gdzie $1\leq p<q<\infty$,
• przestrzeń $L^p(\mu, X)$, gdy $X$ ma własność Radona-Nikodýma.

Wymienione niżej przestrzenie nie mają własności Radona-Nikodýma:

• $L^1([0,1])$
• $L^1(\mu)$, gdy $\mu$ jest miarą, która nie jest czysto atomowa
• przestrzenie $c, c_0, \ell^\infty, L^\infty([0,1])$
• przestrzenie operatorów zwartych i przestrzenie operatorów liniowych i ciągłych na $X$, gdy $X=L^p$ lub $X=C(\Omega)$,

Zobacz też

• rozkład Hahna
• twierdzenie Riesza-Skorochoda

Bibliografia

1. Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 202-207. 
2. Paul R. Halmos: Measure theory. New York, Springer-Verlag [1974, c1950], s. 128-136. ISBN 0-387-90088-8. 
3. Joseph Diestel, Jerry Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002. ISBN 978-0821815151.