Wahadło

Wahadło matematyczne, rozkład siły grawitacji na składowe.

Animacja ruchu wahadła ukazująca wektor prędkości i wypadkowego przyspieszenia.

Mechanika klasyczna

$\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}$

II zasada dynamiki Newtona

Wprowadzenie Historia Aparat matematyczny Działy Statyka  · Dynamika  · Kinematyka  · Mechanika stosowana  · Mechanika nieba  · Mechanika ośrodków ciągłych  · Mechanika statystyczna Sformułowania Mechanika Newtonowska Formalizm Lagrange'a  · Formalizm Hamiltona Koncepcje podstawowe Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d'Alemberta Podstawowe zagadnienia Bryła sztywna · Dynamika bryły sztywnej · Równania Eulera (dynamika bryły sztywnej) · Ruch · Zasady dynamiki Newtona · Prawo powszechnego ciążenia · Kinematyczne równanie ruchu · Inercjalny układ odniesienia · Nieinercjalny układ odniesienia · Obracający się układ odniesienia · Siła bezwładności · Ruch jednostajny prostoliniowy · Przemieszczenie · Prędkość względna · Tarcie · Ruch harmoniczny · Oscylator harmoniczny · Wibracje · Tłumienie · Współczynnik tłumienia · Oś obrotu · Ruch obrotowy · Ruch obrotowy jednostajny · Ruch obrotowy niejednostajny · Siła dośrodkowa · Siła odśrodkowa · Siła odśrodkowa reakcji · Siła Coriolisa · Wahadło · Prędkość obrotowa · Przyspieszenie kątowe · Prędkość kątowa · Pulsacja · Droga kątowa Znani uczeni Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d'Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

Wahadło – ciało zawieszone lub zamocowane ponad swoim środkiem ciężkości wykonujące w pionowej płaszczyźnie drgania pod wpływem siły grawitacji. W teorii mechaniki rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

• matematyczne
• fizyczne

Wahadło matematyczne

Punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Jest to idealizacja wahadła fizycznego.

Ważną cechą wahadła fizycznego i matematycznego jest niezależność okresu drgań od maksymalnego wychylenia dla niewielkich wychyleń wahadła.

Analiza ruchu wahadła

W wahadle matematycznym poruszające się ciało jest punktem materialnym, zawieszonym na nieważkiej, nierozciągliwej nici o długości l. Na ciało to działa stała siła grawitacji. Gdy wahadło odchylone jest z położenia równowagi, składowa siły grawitacji wzdłuż nici jest równoważona przez nić, a składowa prostopadła do nici działająca w kierunku punktu równowagi nadaje ciału przyspieszenie. Ruch ciała ograniczony nicią jest ruchem po okręgu. Z definicji przyspieszenia kątowego oraz z II zasady dynamiki dla ruchu punktu materialnego po okręgu, dla kątów wyrażonych w mierze łukowej kąta, wynikają zależności:

$\varepsilon =\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}$

$-mg l \sin \theta =ml^{2}\cdot \frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}$

Przybliżenie małej amplitudy

Dla małych wychyleń θ jest bliskie zera, wówczas funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem (zobacz: Funkcje trygonometryczne), co prowadzi do równania:

$\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g}{l}\theta =0$

Powyższe równanie jest równaniem ruchu drgającego harmonicznego, którego ogólna postać jest dana wzorem:

$\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}+\omega ^{2}\theta =0$

gdzie $\omega =\frac{2\pi }{T}$ jest częstością kołową drgań a T - okresem. Wynika stąd, że okres drgań wynosi:

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Takie drgania wahadła matematycznego (bez działania sił zewnętrznych) nazywamy drganiami własnymi wahadła.

Wahania o dużej amplitudzie

Dla dużych wychyleń okres drgań zależy od maksymalnego wychylenia θ₀ i rośnie wraz jej wzrostem. Zależność okresu od amplitudy opisuje wzór:

$\begin{alignat}{2} T & = 2\pi \sqrt{l\over g} \left( 1+ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \sin^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2 \sin^4\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \cdots \right) \\ & = 2\pi \sqrt{l\over g} \cdot \sum_{n=0}^\infty \left[ \left ( \frac{(2 n)!}{( 2^n \cdot n! )^2} \right )^2 \cdot \sin^{2 n}\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \right] \end{alignat}$

Zależność okresu drgań wahadła $T$ od kąta wychylenia $\theta$.

Gdy w powyższym wzorze, w sumie, pominie się wyrazy poza pierwszym równym 1, otrzymuje się wzór dla małych wychyleń.

Wahadło fizyczne

Bryła sztywna, która może wykonywać obroty dookoła poziomej osi przechodzącej ponad środkiem ciężkości tej bryły.

Wzór na okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$

Przez analogię do wahadła matematycznego wzór ten zapisuje się jako:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l_0}{g}}$,

wprowadzając wielkość długość zredukowana wahadła $l_0$

$l_0 = \frac{I}{md}$

gdzie:

• d - odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości,
• g - przyspieszenie ziemskie,
• I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu,
• m - masa ciała.

Wahadło Foucaulta

Wahadło Foucaulta w Poznaniu

Jest to duża masa zawieszona na długiej linie. Dzięki działaniu siły Coriolisa spowodowanej obrotem Ziemi, płaszczyzna drgań wahadła ulega powolnemu obrotowi. Ściśle mówiąc płaszczyzna wahań jest stała w układzie inercjalnym, zatem musi obracać się w układzie wirującym. Obserwowany okres obrotu płaszczyzny ruchu wahadła można zapisać w postaci przybliżonej jako:

$T\approx \frac{24 \operatorname {h}}{\sin\varphi}$

gdzie $\phi$, to szerokość geograficzna, na której znajduje się wahadło.

Inne

• wahadło torsyjne
• wahadło rewersyjne
• wahadło żyroskopowe
• wahadło balistyczne
• wahadło kolejowe
• wahadło Oberbecka
• wahadło zegarowe
• wahadło radiestezyjne

Zobacz też: zegar wahadłowy

Bibliografia

1. Fizyka Mieczysław Jeżewski, PWN, Warszawa 1966.
2. ”Fizyka dla studentów nauk przyrodniczych i technicznych. T. 1” R. Resnick, D. Halliday (Państ. Wydaw. Naukowe, Warszawa, 1980 r., ISBN 830100987X) tłum. Teresa Butler, Lech Kaniowski i Wojciech Ratyński.
3. “Fizyka. T. 1” Robert Resnick, David Halliday (Wydaw. Naukowe PWN, Warszawa, 1993 r.) tłum. Teresa Butler-Kaniowska i Wojciech Ratyński.
4. ''Wstęp do fizyki A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski, PWN, Warszawa 1984.
5. Mechanika Część I. Monografie Matematyczne 8, Stefan Banach:, Warszawa-Lwów-Wilno, 1938, s. V+234, dostępne pod [1]
6. Pomiar natężenia pola grawitacyjnego w Siedlcach przy pomocy modelu wahadła matematycznego [2]