Warunek Lipschitza

Definicja

Niech $(X,\varrho), (Y, \sigma)$ będą przestrzeniami metrycznymi. Mówimy, że $f \colon X \longrightarrow Y$ spełnia warunek Lipschitza wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka stała $L>0$, że dla dowolnych $x_1,x_2\in X$

$\sigma(f(x_1), f(x_2))\leqslant L\cdot\varrho(x_1,x_2)$

Najmniejszą wartość $L$ (o ile istnieje) dla której nierówność jest prawdziwa nazywamy stałą Lipschitza. Nazwa pochodzi od nazwiska Rudolfa Lipschitza.

Przykłady

$X=Y=\mathbb{R}, \varrho=\sigma=|\cdot|$

• $f(x)=\sqrt{x^2+5}$ spełnia warunek Lipschitza, $L=1$
• $f(x)=x^2, X=[a,b]$, spełnia w.L., $L=2|b|$ dla $|b|\geqslant|a|$, $L=2|a|$ dla $|a|\geqslant|b|$
• $f(x)=|x|$ jest funkcją nieróżniczkowalną spełniającą w.L., $L=1$
• $f(x)=x^2, X=\mathbb{R}$, nie spełnia w.L.

Twierdzenia dotyczące warunku Lipschitza

• Jeśli $f$ jest różniczkowalna, to jej pochodna jest ograniczona przez $L$. Można powiedzieć, że szybkość zmienności tej funkcji jest ograniczona z góry.
• Funkcja spełniająca warunek Lipschitza jest funkcją jednostajnie ciągłą.
• Jeśli ciąg $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest zbieżny według miary do $f$ i $g$ spełnia warunek Lipschitza, to ciąg $(g\circ f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest zbieżny według miary do $g\circ f$.
• Twierdzenie Rademachera
• Twierdzenie Picarda

Zobacz też

• kontrakcja
• funkcja