Warunkowa wartość oczekiwana

Warunkowa wartość oczekiwana to podstawowe pojęcie rachunku prawdopodobieństwa. Jest to odmiana tradycyjnego pojęcia wartości oczekiwanej, znanej czy to z rachunku prawdopodobieństwa, czy to ze statystyki. Różnica jest taka, że obliczamy ją pod warunkiem, że pewne zdarzenie już zaszło, a więc zamiast standardowego prawdopodobieństwa używamy prawdopodobieństwa warunkowego.

Założenia

Niech $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną z zadanym na niej prawdopodobieństwem warunkowym $P_{\boldsymbol{A} }.$ Niech również $X \in L^{1}(\Omega, \mathcal{F}, P)$ będzie zmienną losową,

gdzie $L^{1}(\Omega, \mathcal{F}, P):=\{X:\Omega \rightarrow \mathbb R: X$ jest mierzalna $\ \and \ \mathbb E|X| < +\infty\}.$

$\bold A \in \mathcal{F}$ jest zdarzeniem takim, że $\bold P(A)>0.$

Definicje

• Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem zdarzenia A nazywamy liczbę:

$\mathbb E(X|A)=\int\limits_\Omega X(\omega)d\mathbb P_A$

Jednak znacznie poręczniejszy w użyciu jest następujący, równoważny wzór:

$\mathbb E(X|A)=\frac{1}{P(A)}\int\limits_A X(\omega)d\mathbb P$

• Niech $\mathcal G$ będzie σ-ciałem. Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem σ-ciała $\mathcal G$ nazywamy zmienną losową spełniającą warunki:

1) $\quad \mathbb E(X|\mathcal G)$ jest $\color{blue} \mathcal G$-mierzalna,

2) $\quad \int\limits_A E(X|A)d\mathbb P=\int\limits_A Xd\mathbb P,\quad$ dla dowolnego $\ A\in \mathcal G .$

Dla dowolnego σ-ciała $\mathcal G \subseteq \mathcal F$ i zmiennej losowej całkowalnej $X \in L^{1}(\Omega, \mathcal{F}, P)$ istnieje $\mathbb E(X|\mathcal G)$ i jest ona wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do zdarzeń o prawdopodobieństwie zero.

• Szczególny przypadek poprzedniego.

Niech $\Omega = \bigcup_{i\in I}A_i$, gdzie $A_i \cap A_j = \empty, i\neq j,$ i niech $\mathcal G = \sigma(\{ A_i: i\in I\} ).$ Wówczas warunkowa wartość oczekiwana pod warunkiem σ-ciała $\mathcal G$ jest równa:

$\mathbb E(X|\mathcal G) = \sum_{i\in I}\mathbb E(X|A_i)\cdot \color{blue}\mathbf{1}_{A_i}$

Spełnia ona oba warunki warunkowej wartości oczekiwanej pod warunkiem σ-ciała.

Własności

Niech $X, Y \in L^{1}(\Omega, \mathcal{F}, P)$ i niech $\mathcal G \subseteq \mathcal F$ będzie σ-ciałem. Wówczas:

• Jeśli $X$ jest $\color{blue} \mathcal G$-mierzalna, to $\mathbb E(X|\mathcal G) = X,$

• $X \leq Y\ \Rightarrow \ \mathbb E(X|\mathcal G) \leq \mathbb E(Y|\mathcal G),$

• $a, b \in \mathbb R\ \Rightarrow \ \mathbb E(aX + bY|\mathcal G)=a\mathbb E(X|\mathcal G) + b\mathbb E(Y|\mathcal G),$

• $|\ \mathbb E(X|\mathcal G)\ | \ \leq \ \mathbb E(\ |X|\ |\mathcal G),$

• Dla dowolnego $\mathcal H \subseteq \mathcal G$ mamy:

$\mathbb E(X|\mathcal H) = \mathbb E \bigg( \mathbb E(X|\mathcal H)\ \bigg| \ \mathcal G \bigg) = \mathbb E \bigg( \mathbb E(X|\mathcal G)\ \bigg| \ \mathcal H \bigg),$

• $X_n \rightarrow X \ \ \Longrightarrow \ \ \mathbb E(X_n|\mathcal G) \rightarrow \mathbb E(X|\mathcal G),$

• $\mathbb E\bigg( \mathbb E(X|\mathcal G) \bigg)\ =\ \mathbb EX,$

• Jeśli $X$ jest niezależna od $\mathcal G$ (tzn. σ($X$) i $\mathcal G$ są niezależne), to:

$\mathbb E(X|\mathcal G) = \mathbb EX,$

• Jeśli $Y$ jest ograniczoną zmienną $\mathcal G$-mierzalną, to:

$\mathbb E(YX|\mathcal G) = Y\mathbb E(X|\mathcal G).$

Zobacz też

• wartość oczekiwana
• prawdopodobieństwo
• prawdopodobieństwo warunkowe

Literatura

• J. Jakubowski, R. Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Wyd. III. ISBN 83-89716-01-1.