Zmienna losowa

Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.

Zmienną losową jest na przykład funkcja opisującą wagę lub wzrost ciała wylosowanego z pewnej populacji osobnika. Zjawiskom o charakterze losowym, którym nie można w oczywisty sposób przypisać jakiejś miary liczbowej, można przypisywać liczby według pewnego klucza tak, aby możliwe było ich porównywanie w interesującym nas aspekcie. Najprostszymi przykładami są: moneta (np. orłu przypisujemy zero, a reszce jedynkę) i kostka do gry (każdej ściance przypisujemy liczbę wylosowanych oczek). Innymi przykładami mogą być: stan techniczny urządzenia, czy wiedza ucznia (oceniana w skali od 1 do 6).

Definicja

Zmienną losową (rzeczywistą) na przestrzeni probabilistycznej $(\Omega, \mathcal F, P)$ nazywamy dowolną rzeczywistą funkcję mierzalną $\xi \colon \Omega \to \mathbb{R}$, tzn. funkcję $\xi$ spełniającą warunek

$\xi^{-1}(B)\in \mathcal{F}$ dla każdego zbioru borelowskiego $B\subseteq \mathbb{R}$.

Tradycyjnie zmienne losowe zapisuje się za pomocą wielkich liter z końca alfabetu, np. $X, Y, Z$ lub liter greckich $\xi, \eta,$ odmiennie niż zwykle zapisuje się funkcje.

Uogólnienia

Rozważa się również zmienne losowe o wartościach w abstrakcyjnych przestrzeniach topologicznych (żeby analogicznie mówić o przeciwobrazach zbiorów borelowskich danej przestrzeni topologicznej) - i tak, na przykład: zmienne losowe o wartościach zespolonych, nazywa się zmiennymi losowymi zespolonymi. Odwzorowanie mierzalne określone na przestrzeni $\Omega$ o wartościach w przestrzeni $R^N$ nazywa się wektorem losowym. Wektor losowy ma postać $X(\omega) = \left(X_1(\omega), X_2(\omega), \dots, X_N(\omega)\right)$, gdzie $X_i\;$ dla $i = 1, \dots, N$ są zmiennymi losowymi rzeczywistymi.

Często rozważa się zmienne losowe o wartościach w przestrzeniach polskich ze względu na ich dobre własności.

Przykłady

• Niech $\Omega$ będzie zbiorem wszystkich możliwych wyników rzutu dwoma kośćmi do gry, składa się on z 36 możliwych wyników. Przypisanie każdej kostce liczby wyrzuconych oczek i zobrazowanie wyniku w postaci pary $(i, j) \in R^2$, gdzie $1 \leqslant i, j \le 6$ jest zmienną losową.

Zmiennymi losowymi są również następujące funkcje: „iloczyn liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „suma liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „liczba oczek wyrzuconych na pierwszej z kostek”.

• Niech dane będą: $\Omega = [0, 1],$ σ-ciało $\mathcal F$ zbiorów borelowskich przedziału $[0, 1]$ oraz określona na nim miara Lebesgue'a $P$. Każda funkcja ciągła $\xi : \Omega \to \mathbb R$ jest zmienną losową.

Zobacz też

• rozkład zmiennej losowej
• dyskretny rozkład prawdopodobieństwa
• ciągły rozkład prawdopodobieństwa
• gęstość zmiennej losowej
• dystrybuanta
• wartość oczekiwana
• wariancja
• zależność zmiennych losowych

Bibliografia

Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004, s. 59. ISBN 83-89716-01-1.