Wektor jednostkowy

Definicja intuicyjna:
Wersor to wektor o długości jeden, wskazujący kierunek i zwrot pewnego wektora początkowego, któremu ten wersor przypisujemy. Mnożenie wersora przez długość początkowego wektora odtwarza początkowy wektor.

Wersor – wektor jednostkowy (także unormowany).

Definicja formalna

Niech $(X, \|\cdot\|)$ będzie przestrzenią unormowaną. Wersorem niezerowego wektora $x \in X$ nazywamy wektor $x^\circ \in X$ taki, że

$x^\circ={x \over \|x\|}$.

W przestrzeniach współrzędnych wersor danego wektora zachowuje oczywiście jego kierunek oraz zwrot.

Wersor osi

Wersor osi to wersor o kierunku i zwrocie zgodnymi z pewną dodatnią półosią prostokątnego układu współrzędnych. Dla osi $OX, OY, OZ$ oznacza się je tradycyjnie na kilka sposobów:

• symbolami $i, j, k$
• $e_1, e_2, e_3$
• $e_x, e_y, e_z$
• $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$.

Przykłady

• Rozważmy przestrzeń euklidesową $\mathbb{R}^3$ ze zwykłym iloczynem skalarnym. Wersorem wektora $\mathbf{x}=\left[\begin{smallmatrix}2\\3\\4\\\end{smallmatrix}\right]$ jest wektor $\mathbf{x}^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2^2+3^2+4^2}}\left[\begin{smallmatrix}2\\3\\4\\\end{smallmatrix}\right]=\left[\begin{smallmatrix}\frac{2}{\sqrt{29}}\\\frac{3}{\sqrt{29}}\\\frac{4}{\sqrt{29}}\\\end{smallmatrix}\right]$
• Rozważmy przestrzeń $\mathbb{R}_2[X]$ (przestrzeń wielomianów stopnia nie większego niż 2 zmiennej rzeczywistej) z iloczynem skalarnym $\langle f, g \rangle = \int\limits_{-1}^1f(x)g(x)dx$ – jest to przestrzeń euklidesowa z normą $\|f\|=\sqrt{\langle f, f \rangle}$. Wersorem wektora $f(X)=X^2+X+1$ jest wektor

$f^{\circ}(X)=\frac{X^2+X+1}{\sqrt{\int\limits_{-1}^1(X^2+X+1)(X^2+X+1)dX}}=\frac{X^2+X+1}{\sqrt{\tfrac{22}{5}}}=\sqrt{\tfrac{5}{22}}X^2+\sqrt{\tfrac{5}{22}}X+\sqrt{\tfrac{5}{22}}$

Uwagi

• Baza ortogonalna złożona z wersorów jest bazą ortonormalną.
• W fizyce zamiast $x^\circ$ stosuje się zapis $\vec{e}_x$ lub $\hat{x}$.

Zobacz też

• ortogonalizacja Grama-Schmidta