Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych – sprawdzanie sądów o populacji przez badanie jej wycinka (próby statystycznej).

Definicje

Niech

$\mathcal{P}=\{P_\theta \colon \theta \in \Theta\}$

będzie rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby $\mathcal{X}$, indeksowaną parametrem $\theta\;$ (w szczególności może to być wektor parametrów rzeczywistych). $P_\theta\;$ opisuje wielowymiarowy łączny rozkład wszystkich obserwacji w próbie $X\;$.

Hipotezą statystyczną $H\;$ jest zdanie postaci $\theta \in \Theta_0$ gdzie $\Theta_0\subset \Theta$ koduje własność rozkładu, którą chcemy testować.

Problem weryfikacji hipotezy statystycznej polega na takim podziale przestrzeni próby $\mathcal{X}$ na rozłączne zbiory $\mathbf{K}$ i $\mathbf{A}$, żeby prawdopodobieństwo warunkowe hipotezy $P\{\theta \in \Theta_0\}$ było możliwie małe (w pewnym ustalonym sensie) dla $X\in \mathbf{K}$ i możliwie duże dla $X\in \mathbf{A}$.

Zwykle wybiera się pewną statystykę $T\;$ i buduje zbiór

$\mathbf{K}=\{X\in\mathcal{X} \colon T(X) \in \mathbf{K}_T \}$

gdzie:

$\mathbf{K}_T$ jest tzw. obszarem krytycznym testu, wybranym tak, aby $P\{T(X)\in \mathbf{K}_T | H \}\leqslant\alpha$

$\alpha\;$ jest wybranym prawdopodobieństwem, tzw. poziomem istotności testu, zwykle 0,05 lub 0,01.

Jednostronny obszar krytyczny to obszar postaci $\mathbf{K}_T=\{t\colon t \leqslant t_\alpha\}$, gdzie

$t_\alpha\;$ jest tzw. wartością krytyczną testu. Jest to największa liczba, dla której $P\{T(X) \leqslant t_\alpha | H \}\leqslant\alpha$

Dwustronny obszar krytyczny to obszar postaci $\mathbf{K}_T=\{t\colon t \leqslant t_{\alpha 1} \vee t \geqslant t_{\alpha 2}\}$ gdzie

$t_{\alpha 1}\;$ jest największą liczbą dla której $P\{T(X) \leqslant t_{\alpha 1} | H \}\leqslant\tfrac{\alpha}{2}$

$t_{\alpha 2}\;$ jest najmniejszą liczbą dla której $P\{T(X) \geqslant t_{\alpha 2} | H \}\leqslant\tfrac{\alpha}{2}$

Standardowy przebieg procedury weryfikacyjnej

Sformułowanie hipotezy zerowej i alternatywnej

Hipoteza zerowa (H₀) - Jest to hipoteza poddana procedurze weryfikacyjnej, w której zakładamy, że różnica między analizowanymi parametrami lub rozkładami wynosi zero. Przykładowo wnioskując o parametrach hipotezę zerową zapiszemy jako:

$H_0\colon \theta_1=\theta_2\;$

Hipoteza alternatywna (H₁) - hipoteza przeciwstawna do weryfikowanej. Możemy ją zapisać na trzy sposoby w zależności od sformułowania badanego problemu:

$H_1\colon \theta_1 \ne \theta_2$

$H_1\colon \theta_1 > \theta_2\;$

$H_1\colon \theta_1 < \theta_2\;$

Wybór statystyki testowej

Budujemy pewną statystykę W, która jest funkcją wyników z próby losowej $W=f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ i wyznaczamy jej rozkład przy założeniu, że hipoteza zerowa jest prawdziwa. Funkcję W nazywa się statystyką testową lub funkcją testową.

Określenie poziomu istotności α

Na tym etapie procedury weryfikacyjnej przyjmujemy maksymalne dopuszczalne prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju, który polega na odrzuceniu hipotezy zerowej wtedy, gdy jest ona prawdziwa. Prawdopodobieństwo to jest oznaczane symbolem α i nazywane poziomem istotności. Na ogół przyjmujemy prawdopodobieństwo bliskie zeru, ponieważ chcemy aby ryzyko popełnienia błędu było jak najmniejsze. Najczęściej zakładamy poziom istotności α=0,05, czasem przyjmuje się np. α=0,01, α=0,1.

Wyznaczenie obszaru krytycznego testu

Obszar krytyczny - obszar znajdujący się zawsze na krańcach rozkładu. Jeżeli obliczona przez nas wartość statystyki testowej znajdzie się w tym obszarze, to weryfikowaną przez nas hipotezę H₀ odrzucamy. Wielkość obszaru krytycznego wyznacza dowolnie mały poziom istotności α, natomiast jego położenie określane jest przez hipotezę alternatywną.

Obszar krytyczny od pozostałej części rozkładu statystyki oddzielony jest przez tzw. wartości krytyczne testu (w_α), czyli wartości odczytane z rozkładu statystyki przy danym α, tak aby spełniona była relacja zależna od sposobu sformułowania H₁.

Obliczenie statystyki na podstawie próby

Wyniki próby opracowujemy w odpowiedni sposób, zgodnie z procedurą wybranego testu i są one podstawą do obliczenia statystyki testowej. Większość statystyk testowych, mających dokładny rozkład normalny, t-Studenta lub graniczny rozkład normalny, obliczamy w następujący sposób:

$W=\frac{a-b}{c}$

gdzie:

$W\;$ – Statystyka testowa

$a\;$ – Statystyka obliczona z próby

$b\;$ – Hipotetyczna wartość parametru(ów)

$c\;$ – Odchylenie standardowe rozkładu statystyki

Podjęcie decyzji

Wyznaczoną na podstawie próby wartość statystyki porównujemy z wartością krytyczną testu.

• Jeżeli wartość ta znajdzie się w obszarze krytycznym, to hipotezę zerową należy odrzucić jako nieprawdziwą. Stąd wniosek, że prawdziwa jest hipoteza alternatywna.
• Jeżeli natomiast wartość ta znajdzie się poza obszarem krytycznym, oznacza to, że brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Stąd wniosek, że hipoteza zerowa może, ale nie musi, być prawdziwa, a postępowanie nie dało żadnych dodatkowych informacji uprawniających do podjęcia decyzji o przyjęciu lub odrzuceniu hipotezy zerowej.

Reguły postępowania przy weryfikacji hipotez są określane mianem testów statystycznych.

Alternatywne podejście

Powyższa standardowa procedura wymaga przyjęcia arbitralnego poziomu istotności α a wynikiem weryfikacji jest odpowiedź binarna – albo statystyka testowa mieści się w przedziale ufności, albo nie.

Alternatywnym i nowocześniejszym, choć mniej popularnym podejściem jest obliczenie zamiast tego surowej p-wartości (prawdopodobieństwa popełnienia błędu I rodzaju) i podawanie jej jako wyników weryfikacji. Dzięki temu nie ma potrzeby przyjmowania a priori żadnych wartości α, pozwala to również na porównywanie istotności różnych konkurencyjnych hipotez statystycznych.

Związane pojęcia

Poziom istotności (α)

Poziom istotności jest to założone maksymalne prawdopodobieństwo nieprawidłowego odrzucenia hipotezy zerowej.

Test najsilniejszy

Test najsilniejszy, to test, który przy danym poziomie istotności ma największą moc.

Test najsilniejszy jednoznacznie

Test najsilniejszy jednoznacznie, to test, który ma największą moc dla wszystkich poziomów istotności.

Test nieobciążony

Test jest nieobciążony, gdy jego moc przewyższa poziom istotności.

Zobacz też

• statystyka

Bibliografia

• Ryszard Zieliński: Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej. Warszawa: 2004.  http://www.impan.gov.pl/~rziel/7ALL.pdf (dostęp: 21 maja 2008)
• Lesław Gajek: Wnioskowanie statystyczne dla studentów. Modele i metody. Warszawa: 1998. ISBN 8320424895.