Widmo macierzy

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Widmo macierzy (spektrum macierzy) to zbiór wszystkich wartości własnych danej macierzy kwadratowej $A \in K^n_n$. Zbiór ten oznaczany jest symbolem $\sigma(A)$. Widmo macierzy jest szczególnym przypadkiem widma operatora przestrzeni skończenie wymiarowej.

Definicja

Niech $K$ będzie ciałem oraz $A\in K^n_n$. Zbiór $\{\lambda \in K\colon \det(A-\lambda I)=0\}$ nazywamy widmem (spectrum) macierzy $A$ i oznaczamy $\sigma(A)$.

W powyższej definicji $I$ oznacza macierzą jednostkową stopnia $n$.

Promieniem spektralnym macierzy $A\in K^n_n$ nazywamy liczbę

$\rho(A) = \max \{|\lambda|\colon\; \lambda\in\sigma(A)\} = \max_{1\leqslant i\leqslant s} |\lambda_i|$,

gdzie $\lambda_1,\cdots,\lambda_s$ są wartościami własnymi macierzy $A$.

Zobacz też

• macierz
• norma spektralna
• teoria spektralna
• widmo operatora
• wyznacznik