Wielomiany Bernsteina

Wielomiany Bernsteina – wielomiany wprowadzone w 1912 roku przez Serge Bernsteina w dowodzie twierdzenia Weierstrassa o przybliżeniu funkcji ciągłych.

Dla funkcji $f\colon [0,1] \to \mathbb R$, wielomian Bernsteina stopnia n jest dany wzorem:

$E_n(f)(t) = \sum_{i=0}^n f\left(\frac{i}{n}\right) B_i^n(t)$

gdzie $B_i^n(t)$ to wielomiany bazowe Bernsteina dane wzorem:

$B^n_i(t) = \begin{cases} {n \choose i} t^i (1-t)^{n-i} & \mbox{ dla } i=0\ldots n\\ 0 & \mbox{ dla } i < 0,\ i > n \end{cases}$

Wielomiany bazowe Bernsteina służą do przedstawiania szeroko stosowanych w grafice komputerowej: krzywych Béziera, płatów Béziera i wywodzących się z nich innych rodzajów krzywych i powierzchni. (W publikacjach tyczących grafiki komputerowej często pomija się przymiotnik bazowe i pisze po prostu wielomiany Bernsteina).

Własności wielomianów bazowych Bernsteina

Zależność rekurencyjna

Wielomian spełnia zależność rekurencyjną:

$B_i^n(t) = (1-t) B_i^{n-1}(t) + t B_{i-1}^{n-1}(t)$

Rozkład jedynki

$\sum_{i=0}^n B_i^n(t) = 1$

Dodatniość

$B_i^n(t) \geqslant 0$ dla $t \in [0,1]$

Symetria

$B_i^n(t) = B_{n-i}^n(1-t)$

Iloczyn

$B_i^n(t) B_j^m(t)$ $= \frac{{n \choose i} {m \choose j}}{ {{n+m} \choose {i+j}} } B_{i+j}^{n+m}(t)$

Pochodna

$\frac{d}{dt} B_i^n(t) = n \left( B_{i-1}^{n-1}(t) - B_i^{n-1}(t) \right)$

Reprezentacja za pomocą wielomianów wyższego stopnia

$B_i^n(t) = \frac{n+1-i}{n+1} B_i^{n+1}(t) + \frac{i+1}{n+1} B_{i+1}^{n+1}(t)$

Aproksymacja jednostajna

Niech $f:[0,1] \to \mathbb R$ będzie funkcją ciągłą. Wówczas ciąg wielomianów Bernsteina $\langle E_n(f): n=0,1,2,\ldots \rangle$ jest jednostajnie zbieżny do funkcji $f$.

Wielomiany bazowe Bernsteina trzech zmiennych

Wielomiany te dane są wzorem:

$B_{ijk}^n(r,s,t) = \begin{cases} \frac{n!}{i! j! k!} r^i s^j t^k & \mbox{ dla }i,j,k \geqslant 0 \mbox{ oraz }i+j+k = n \\ 0 & \mbox{ w przeciwnym razie } \end{cases}$

i używane do określenia trójkątnych płatów Béziera.

Własność:

$B_{ijk}^n(ar,as,at) = a^n B_{ijk}^n(r,s,t)$

Zobacz też

• wielomiany Tonellego,
• Twierdzenie Stone'a-Weierstrassa,