Wnętrze (matematyka)

Punkt W jest punktem wewnętrznym figury.

Wnętrze zbioru (figury, bryły) F – pojęcie w geometrii lub topologii, zbiór tych punktów przestrzeni, które należą do zbioru F wraz z pewnym swoim otoczeniem.

Wnętrze zbioru F oznaczamy Int(F), int(F) lub F°. Punkty należące do wnętrza zbioru nazywamy punktami wewnętrznymi zbioru.

Własności

Z definicji wnętrza zbioru wynikają bezpośrednio poniższe jego własności.

1. Wnętrze jest otwartym podzbiorem F.
2. Wnętrze jest sumą wszystkich otwartych podzbiorow F.
3. Wnętrze jest największym zbiorem otwartym zawartym w F.
4. Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest swoim własnym wnętrzem.
5. int(int(S)) = int(S).
6. Jeżeli S jest podzbiorem F, to int(S) jest podzbiorem int(F).
7. int(S∩F)=int(S)∩int(F)
8. Jeżeli S jest zbiorem otwartym, to S jest podzbiorem F wtedy i tylko wtedy, gdy S jest podzbiorem int(F).

Wnętrze zbioru zależy od topologii – jeżeli na przestrzeni dane są dwie różne topologie, to jeden i ten sam zbiór punktów może być wnętrzem w jednej topologii, a w innej już nie.

Zauważmy też, że w przestrzeni metrycznej punkt p zbioru F jest punktem wewnętrznym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje kula o środku w punkcie p całkowicie zawarta w zbiorze F.

Pozostałe własności

1. $\operatorname{Int}\; A \cup \operatorname{Int}\; B \subset \operatorname{Int}\; (A \cup B)$ dla dowolnych zbiorów $A \subset X,\ B \subset X$
2. $\bigcup_{s \in S} \operatorname{Int}\; A_s \subset \operatorname{Int}\; \left( \bigcup_{s \in S} A_s \right)$ dla dowolnej rodziny zbiorów $\{A_s \subset X: s \in S\}$
3. Dla każdego $A \subset X$ mamy
   $\operatorname{Int}\; A = X \setminus \operatorname{cl}\; (X \setminus A)$

Operacja wnętrza a topologia

Jeżeli operację brania wnętrza zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia warunki 5, 6, 7 oraz warunek int(X)=X, gdzie X oznacza całą przestrzeń, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii przez operację wnętrza w zbiorze X.

Przykłady

• W dowolnej przestrzeni wnętrze zbioru pustego jest zbiorem pustym, a wnętrzem całej przestrzeni jest przestrzeń.
• W przestrzeni dyskretnej każdy zbiór jest swoim wnętrzem.
• Niech R oznacza zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią. Wówczas:
  • wnętrzem przedziału domkniętego [a, b] jest przedział otwarty (a, b)
  • wnętrzem przedziału [a, b) jest przedział (a, b)
  • wnętrzem zbioru skończonego jest zbiór pusty
  • wnętrzem zbioru liczb wymiernych jest zbiór pusty
  • wnętrzem zbioru liczb niewymiernych także jest zbiór pusty
  • zbiór ma niepuste wnętrze wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera pewien przedział.

Zobacz też

• zewnętrze
• brzeg